¿Ayúdame a mostrar $\int_1^\infty \frac{1}{x+x^3}dx = \frac{\ln 2}{2}$?

Question

Tengo este ejercicio, y me da el resultado correcto. Pero mientras creo que la primera parte está bien, la segunda parte es desde el punto de vista bastante peludo. Así que aquí la primera parte (he dejado algún paso, pero se debe de ser para la mayoría de ustedes obvio):

$$\int_1^\infty \frac{1}{x+x^3} \,dx = \int_1^\infty \frac{1}{x(1+x^2)} \,dx= \int_1^\infty \frac{1}{x}-\frac{x}{(1+x^2)} \,dx= \left[\ln(x)\right]_1^\infty - \left[\frac{1}{2} ln(1+u)\right]_1^\infty$$

En la siguiente segunda parte, al menos cuando me pongo a hacer la aritmética de manipulación con $\infty$, no formal más.

$$ \left[\ln(x)\right]_1^\infty - \left[\frac{1}{2} ln(1-u)\right]_1^\infty = \ln(\infty)-ln(1)-\frac{1}{2} \ln(1-\infty)+\frac{1}{2}\ln(2) = \infty -\frac{1}{2} \infty +\frac{1}{2}\ln(2) = \frac{\ln 2}{2}$$

Así que sería genial si alguien podría enseñarme una manera formal para resolver esta integral.

Answer 1

Sustituto de $x = \tan{\theta}$, $dx = \sec^2{\theta} d \theta$:

$$\int1^{\infty} \frac{dx}{x (1+x^2)} = \int{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \: \cot{\theta} = \left [ \log{\sin{\theta}} \right ]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = -\log{\frac{1}{\sqrt{2}}} $$

Answer 2

Una integral impropia es simplemente un límite de integrales adecuados:

$$\int1^\infty\frac1{x+x^3}dx=\lim{a\to\infty}\int_1^a\left(\frac1x-\frac{x}{1+x^2}\right)dx\;.$$

Mantener los límites hasta que termines encontrando los antiderivatives y mantener las piezas juntas:

$$\begin{align} \int1^\infty\frac1{x+x^3}dx&=\lim{a\to\infty}\int1^a\left(\frac1x-\frac{x}{1+x^2}\right)dx\\ &=\lim{a\to\infty}\left[\ln x-\frac12\ln\left(1+x^2\right)\right]1^a\\ &=\lim{a\to\infty}\left[\ln x-\ln\left(1+x^2\right)^{1/2}\right]1^a\\ &=\lim{a\to\infty}\left[\ln\frac{x}{\left(1+x^2\right)^{1/2}}\right]1^a\\ &=\lim{a\to\infty}\ln\frac{a}{\left(1+a^2\right)^{1/2}}-\ln 2^{-1/2}\\ &=\frac12\ln 2\;, \end{align} $$

desde $\dfrac{a}{\left(1+a^2\right)^{1/2}}\to 1$ $a\to\infty$.

Answer 3

Utilice en su lugar $$\int\frac1{x(1+x^2)} \mathrm dx = \log\varphi (x), \qquad\varphi (x) = \frac {x} {\sqrt {1 + x ^ 2}}, $$ y tenga en cuenta que $\varphi(1)=\frac1{\sqrt2}$ y $\varphi(+\infty)=1$.

Answer 4

Dejar que $x=\sqrt u$, la integral se convierte en $$\frac{1}{2}\int_1^{\infty}\frac{1}{u(u+1)} \mathrm{du}=\left[\frac{1}{2}\ln \left(\frac{u}{u+1}\right)\right]_1^{\infty}=\frac{\ln 2}{2}$ $

Chris.