¿Por qué toda la teoría sobre variedades diferenciables se basa en conjuntos abiertos?

Question

Sólo he estudiado topología básica, lo que significa que no he estudiado nada sobre variedades diferenciables. Sólo he hojeado páginas en wikipedia.

He aquí una ilustración sencilla de una situación básica.

Sea $E$ sea un subconjunto de $\mathbb{K}$ y $(V,\| \cdot \|)$ sea un espacio normado sobre $\mathbb{K}$ y $f:E\rightarrow V$ sea una función.

Sólo es necesario comprobar si un punto $x$ de $E$ es un punto límite de $E$ para que tenga sentido decir que " $f$ es diferenciable en $x$ .

Para poder definir la diferenciación de una función cuyo dominio es tal que un disco cerrado en $\mathbb{C}$ o el conjunto de Cantor.

Por este motivo, supongo que el concepto de colector diferenciable no recoge todas las propiedades de las que procede el concepto de diferenciación (es decir. $\mathbb{K}$ ), ya que la teoría de las variedades diferenciables sólo considera conjuntos abiertos .

Supongo que si consideramos todos estos casos juntos, entonces puede que la teoría parezca desordenada. Así que creo que todos los conceptos de variedades diferenciables son, de hecho, sustitutos de esta amplia consideración.

¿Estoy pensando correctamente o en realidad no estoy captando el concepto intrínseco de diferenciación?

Aunque creo que la generalización de la integración a un espacio de Hausdorff localmente compacto es muy natural, creo que la teoría de la diferenciación abstracta es un poco artificial.

Answer 1

Creo que estás pasando por alto un punto importante sobre la diferenciación (pero no te avergüences, no es un punto obvio en absoluto si no tienes suficiente formación). Lo importante aquí es que la diferenciación es una local concepto, es decir, tenemos el concepto de diferenciación en un punto y esto sólo depende de una(n arbitrariamente pequeña) vecindad abierta de dicho punto. Incluso en un punto límite una función es diferenciable si, y sólo si, puede extenderse a una función diferenciable en una pequeña vecindad de dicho punto. Ésta es la razón por la que, al definir una variedad suave (pero también variedades topológicas y otros conceptos similares), sólo necesitamos una definición que se base en conceptos locales y, por tanto, sólo nos preocupamos de conjuntos abiertos (pequeños).

Un punto de vista más avanzado viene dado por el concepto de gavillas pero es probable que necesites unos conocimientos más básicos para entender bien el concepto.