Cómo probar esta secuencia $u_{m}=v_{m}$

Question

Pregunta:

Supongamos que $m$ es un número entero positivo, defina la secuencia $$\{u_{k}\},\{v_{k}\},u_{0}=v_{0}=u_{1}=v_{1}=1$$ y para cualquier número real $a_{i},i=\{1,2,\cdots,m-1\}$ , $$\begin{cases} u_{k+1}=u_{k}+a_{k}u_{k-1}\\ v_{k+1}=v_{k}+a_{m-k}v_{k-1} \end{cases}$$

demostrar que $$u_{m}=v_{m}$$

Mi intento: si

(1): $m=2$ ya que $$u_{2}=u_{1}+a_{1}u_{0}=1+a_{1}$$ y $$v_{2}=v_{1}+a_{1}v_{0}=1+a_{1}$$ así que $$u_{2}=v_{2}=1+a_{1}$$

(2):si $m=3$ entonces $$u_{2}=1+a_{1},\Longrightarrow u_{3}=u_{2}+a_{2}u_{1}=1+a_{1}+a_{2}$$ y $$v_{2}=v_{1}+a_{2}v_{0}=1+a_{2},\Longrightarrow v_{3}=v_{2}+a_{1}v_{1}=1+a_{2}+a_{1}$$ así que $$u_{3}=v_{3}=1+a_{1}+a_{2}$$

(3):si $m=4$ Así que $$u_{4}=u_{3}+a_{3}u_{2}=1+a_{1}+a_{2}+a_{3}(1+a_{1})=1+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{3}a_{1}$$ $$v_{2}=v_{1}+a_{3}v_{0}=1+a_{3}\Longrightarrow v_{3}=v_{2}+a_{2}v_{1}=1+a_{3}+a_{2}$$ $$\Longrightarrow v_{4}=v_{3}+a_{1}v_{2}=1+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{1}a_{3}$$ también $$u_{4}=v_{4}$$

este hecho problemático muestra $u_{n}$ es la simetría. entonces Cómo demostrarlo en general ¿puede ayudar? Gracias

Answer 1

Lema 1 : $ u_k = 1 + \sum a_i + \sum a_i a_{i-2} + \sum a_i a_{i-2} a_{i-4} + \ldots $

Esto es obvio por inducción en $u_k$ . Tenga en cuenta que $u_k$ son independientes de $m$ . $_\square$

Nota: 1 es la "suma del producto vacío", es decir $1 = \sum {\text{( product of 0 terms )} } $ . Esta es la explicación algebraica de por qué funciona la fórmula, aunque también puedes comprobarlo expandiendo.

Lemma 2 : Fijar $m$ . La secuencia de $v_k$ obtenido de $a_1, a_2, \ldots a_{m-1}$ es igual a la secuencia de $u^* _k$ obtenida de la fijación de $a^*_1 = a_{m-1}, a^* _2 = a_{m-2}, \ldots , a^*_{m-1} = a_1$ .

Esto se desprende de la definición de recurrencia. Aplica tu argumento de simetría favorito. $_\square$

Lema 3: Fijar $m$ . $u_m = v_m$ .

Utilice el lema 2 para calcular $v_m$ mediante el lema 1. Compárese con $u_m$ mediante el lema 1. $_\square$