Condiciones para la Convolución $f \ast g$ ser Continua en un Punto

Question

Deje $f$ $g$ funciones $\mathbb{R}^n$. Deje $x_0$ ser un punto dado en la unidad de la bola de $B(0,1)$. Estoy en busca de condiciones suficientes para la convolución $$ (f \ast g)(x) = \int_{B(0,1)} f(y)g(x-y) dy $$ para ser continua en $x_0$.

Agradecería pruebas simples o referencias a las pruebas de que las condiciones que se dan en una respuesta suficiente.

En mi aplicación específica, $f$ $g$ son continuas en a$B(0,1) \setminus \{0\}$$x_0 \neq 0$, pero yo estaría muy interesado en ver condiciones para que las demás (más general) situaciones así.

Yo también estaría muy interesado en ver las condiciones de la situación en la $B(0,1)$ es reemplazado por $\mathbb{R}^n$.

Muchas gracias!

Answer 1

La continuidad no es necesario en general, pero suficiente integrabilidad es útil: Vamos a $p>1$ $q$ ser conjugado exponentes ($1/p + 1/q = 1$) y $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$, $g\in L^q(\mathbb{R}^n)$. Entonces por Hölder la desigualdad para cualquier $x,h\in\mathbb{R^n}$: $$ |f*g(x+h) - f*g(x)| \leq \|f\|_{L^p} (\int |g(x+h-y) - g(x-y)|^q dy)^{1/q}. $$ El último término se desvanece para $h\to 0$ desde $L^q$ funciones son "continua en el $q$th media" (que puede ser visto por la densidad de las funciones continuas con soporte compacto).