Isomorfismo entre el $G$ $\mathbb{Q}^{*}$

Question

Deje $\{G_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ ser una familia de aditivos grupos con $G_{1}=\mathbb{Z}_{2}$ $G_{n}=\mathbb{Z}$ $n\geq 2$ $$G=\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}G_{n}$$

Quiero demostrar que la $G\cong \mathbb{Q}^{*}$

No puedo encontrar la función correcta, me puedes dar una pista? He intentado :

$$(g_{1},g_{2},...)\longrightarrow -1^{g_{1}}\sum_{n\geq 2}\frac{g_{n}}{10^{n-2}} $$

Answer 1

Sugerencia: Piense en la $G_n$'s $n>1$ como ser indexado por los números primos, y el uso de la factorización prima.

Answer 2

Creo que lo entiendo: $P$ el conjunto de todos los números primos.

$$\phi(g_{1},g_{2}, ...)= -1^{g_{1}}\prod _{n\geq1} p^{g_{n}}_{n}$$

con $p_{n}\in P$. Desde $g_{n}$ permite negativo numbres, y todos los racionales son $\frac{a}{b}$$a,b\in \mathbb{Z}$$ b\neq0$. Es claro que es de uno a uno. Entonces: $g,h \in G$

$$\phi(g+h)=\phi(g_{1}+h_{1},g_{2}+h_{2}, ...)=-1^{g_{1}+h_{1}}\prod _{n\geq1} p^{g_{n}+h_{n}}_{n}=(-1^{g_{1}})(-1^{h_{1}})\prod _{n\geq1} p^{g_{n}}_{n}p^{h_{n}}_{n}=\phi(g)\phi(h)$$

Gracias!