Estoy tratando de entender una prueba de la siguiente declaración:
Deje $R$ ser un anillo de Dedekind y deje $I$ a ser un ideal de $R$. $I$ está contenida en sólo un número finito de primer ideales $\mathfrak{p}_1,...,\mathfrak{p}_n$ $R$ $I=\mathfrak{p}_1^{a_1}\cdots \mathfrak{p}_n^{a_n}$ algunos $a_1,\cdots,a_n \in\mathbb{N}^+$.
La prueba, que fue tomado de Janusz del Algebraicas Número de Campos y modificado por mí, va como sigue:
Consideremos el anillo de $S=R/I$. Tenga en cuenta que desde $R$ es de Krull de la dimensión 1, $S$ es un anillo conmutativo en el que cada primer ideal es máxima. Por lo tanto, de todos los ideales de a $S$ contiene un producto de primer ideales. El primer ideales de $S$ corresponden bijectively con el primer ideales de $R$ que contengan $I$. Tenga en cuenta que sólo puede haber un número finito de primer ideales de $S$ y, por tanto, sólo un número finito de primer ideales $\mathfrak{p}_1,\cdots,\mathfrak{p}_n$ $R$ que contengan $I$. En particular, existe $a_1,\cdots, a_n \in \mathbb{N}$ tal que $({\mathfrak{p}_1/I})^{a_1}\cdots ({\mathfrak{p}_n/I})^{a_n}=0$. Esto implica $\mathfrak{p}_1^{a_1}\cdots \mathfrak{p}_n^{a_n}\subseteq I$.
Deje $\widetilde{R}=R/\mathfrak{p}_1^{a_1}\cdots \mathfrak{p}_n^{a_n}$. Desde los ideales $\mathfrak{p}_i$ $\mathfrak{p}_j$ son máximas para todos los $i$$j$, son comaximal para todos los $i\neq j$. Por lo tanto, por el teorema del resto Chino tenemos $$ \widetilde{R}\cong R/{\mathfrak{p}_1}^{a_1}\times \cdots \times R/{\mathfrak{p}_n}^{a_n}. $$ Los ideales de $\widetilde{R}$ son de la forma $I_1\times \cdots \times I_n$ donde $I_k$ es un ideal de a $R/{\mathfrak{p}_k}^{a_k}$. Desde los ideales de la $R/\mathfrak{p}_k^{a_k}$ son todos los poderes de $\mathfrak{p}_k/\mathfrak{p}_k^{a_k}$, los ideales de $\widetilde{R}$ son imagen de algún producto $\mathfrak{p}_1^{b_1}\cdots \mathfrak{p}_n^{b_n}$ algunos $b_i \leq a_i$. En particular, esto significa $I$ tiene la misma imagen, como algunos $\mathfrak{p}_1^{c_1}\cdots \mathfrak{p}_n^{c_n}$ donde $c_i \leq a_i$ todos los $i$. Dado que tanto $I$ $\mathfrak{p}_1^{c_1}\cdots \mathfrak{p}_n^{c_n}$ contienen $\mathfrak{p}_1^{a_1}\cdots \mathfrak{p}_n^{a_n}$ y el mapa para el mismo elemento ideal de $\widetilde{R}$, debemos tener $I=\mathfrak{p}_1^{c_1}\cdots \mathfrak{p}_n^{c_n}$. $\square$
La parte que no entiendo es el paso final:
Dado que tanto $I$ $\mathfrak{p}_1^{c_1}\cdots \mathfrak{p}_n^{c_n}$ contienen $\mathfrak{p}_1^{a_1}\cdots \mathfrak{p}_n^{a_n}$ y el mapa para el mismo elemento ideal de $\widetilde{R}$, debemos tener $I=\mathfrak{p}_1^{c_1}\cdots \mathfrak{p}_n^{c_n}$.
Estoy seguro de que la razón es mirándome directamente a la cara, pero yo no la veo.
Pregunta
¿Cuál es el razonamiento detrás de el paso final?
