Caracterizar los números naturales $n$ que hay un surjective grupo homomorphism de$S_n$$S_{n-1}$.

Question

Este ha sido siempre uno de mis ejercicios favoritos de la Teoría de Grupo, y me sorprendí al ver que esto no ha sido hecho antes. Para repetir:

Caracterizar los números naturales $n$ que hay un surjective grupo homomorphism de$S_n$$S_{n-1}$.

Yo tengo una solución que voy a publicar en un par de días (si alguien no volver a crearla), pero estoy más interesado en ver cómo otras personas se acercan a este problema. Estoy muy interesado en las pruebas de esta caracterización.

Answer 1

Lo que más me gustó de este problema es que no se presta a ser resuelto fácilmente por contar (es posible, pero no he visto una prueba). Por lo tanto, estamos obligados a transitar por diferentes caminos para atacar el problema a partir de la cual podamos aprender algo más interesante en su propio derecho.

Por ejemplo, GA316 la observación de que $A_n$ es el único subgrupo normal de $S_n$ $n\geq 5$ es algo que se puede descubrir al intentar resolver este problema. La prueba de que el lema esencialmente se basa en la simplicidad de $A_n$ $n\geq 5$ y ha sido abordado en este sitio aquí.

Mi prueba de este problema también se basa en la simplicidad de $A_n$$n\geq 5$, pero me fui por un camino diferente para resolverlo. Es decir, me demostró los siguientes lemas:

Lema 1: $A_n$ es el único subgrupo de $S_n$ con índice 2.

Lema 2: Deje $G$ $H$ dos grupos, y deje $\phi:G\rightarrow H$ ser un surjective grupo homomorphism. Deje $K$ ser un subgrupo de $G$ con un límite, índice de $n$. A continuación, $\phi(K)$ es un subgrupo de $H$ con índice finito, y su índice se divide $n$.

Voy a dejar los lemas para el lector interesado (al menos sé el primero es en este sitio).

Ahora te voy a mostrar que no hay surjective homomorphism de$S_n$$S_{n-1}$$n\geq 5$. Deje $n\geq 5$, y suponen que, al contrario, $\phi:S_n\rightarrow S_{n-1}$ fueron una surjective homomorphism. Considerar el subgrupo $\phi(A_n)$$S_{n-1}$. Su índice debe dividir $2$ por el lema. Por lo tanto su índice es $1$ o $2$. Si su índice de $1$, $\phi$ restringe a un surjective homomorphism de$A_n$$S_{n-1}$. Pero $A_n$ es simple y sólo tiene trivial normal subgrupos. Por lo tanto la única cocientes de $A_n$ tienen orden de $1$ o $n!/2$. Pero $S_{n-1}$ orden $(n-1)!$, y para $n\geq 5$ tenemos que $n!/2> (n-1)!$. Por lo $\phi(A_n)$ no tiene índice $1$, por lo que debe tener el índice de $2$. Por el lema, esto significa que $\phi(A_n)=A_{n-1}$. Pero esto significa que $\phi$ restringe a un surjective homomorphism de$A_n$$A_{n-1}$. Pero $A_n$ sigue siendo simple y llegamos a otra contradicción en cardinalidades. Y llegamos a nuestro final contradicción.

Answer 2

Sugerencia : Para $n \ge 5$, $A_n$ es el único subgrupo normal de $S_n$