Ser un monomorphism descrito como una característica universal

Question

Es posible describir la propiedad "ser un monomorphism" como un universal de la propiedad (con la categoría correspondiente/s y functor)?

Answer 1

Bueno, realmente depende de lo que quieres decir con "se describe como una característica universal". Tal vez usted encontrar esta descripción aceptable:

• Una de morfismos $f : A \to B$ es un monomorphism si y sólo si el diagrama $$\begin{array}{rcl} A & \overset{\textrm{id}}{\rightarrow} & A \\ {\scriptstyle \textrm{id}} \downarrow & & \downarrow {\scriptstyle f} \\ A & \underset{f}{\rightarrow} & B \end{array}$$ es un retroceso de la plaza.

  En efecto, supongamos $g, h : X \to A$ son morfismos tal que $f \circ g = f \circ h$; si el diagrama es un retroceso, entonces existe un único $k : X \to A$ tal que $g = h = k$, y por lo $f$ es un monomorphism; y si $f$ es un monomorphism, a continuación,$g = h$, por lo que no hay, de hecho, un único morfismos de completar la obvia diagrama.

Esta descripción es sin duda útil. Por ejemplo, que implica:

• Cualquier functor que conserva pullbacks (o incluso sólo el kernel de pares) también conserva monomorphisms. En particular, el derecho adjoints preservar monomorphisms.

• Cualquier functor que refleja pullbacks (o kernel pares) y isomorphisms debe reflejar también monomorphisms. En particular, monádico functors reflejar monomorphisms.

O quizás usted prefiere algo en términos de hom-conjuntos:

• Una de morfismos $f : A \to B$ en un (a nivel local pequeño) se trata de una categoría monomorphism si y sólo si $f_* : \textrm{Hom}(X, A) \to \textrm{Hom}(X, B)$ es inyectiva para todo $X$.

Si usted piensa acerca de ello, esto es sólo la definición de 'monomorphism'. Encontrareis con esto se pueden derivar de una manera indirecta, observando que en el $\textrm{Hom}(X, -)$ es un functor que conserva pullbacks, y la colección de todos los functors conjuntamente refleja pullbacks y isomorphisms.