Hain del colector de fórmula para las integrales iteradas

Question

Ejercicio 7 en Hain las notas en el de Rham grupo fundamental de la $\mathbb{P}^1\setminus \left\{0,1,\infty\right\}$ dice lo siguiente (para una real o complejo suave colector $M$):

Deje $\alpha, \beta$ dos bucles en base a un punto de $x\in M$ $\omega_1, \omega_2\in \Omega^1 (M)$ dos liso (real o complejo) 1-formas en $M$. A continuación, el colector en $\pi_1 (M,x)$ está relacionado con un período de la matriz a través de

$$\int_{[\alpha,\beta]} \omega_1 \omega_2 = \det\left( \matrix{{\int_\alpha \omega_1,\int_\alpha \omega_2}\\{\int_\beta \omega_1 ,\int_\beta \omega_2}}\right).$$

Estoy luchando para demostrar esto mediante la selección de producto/subproducto/camino de reversión de las fórmulas. Suponiendo que no he hecho un cálculo de error, sin embargo, creo que se reduce a mostrar que la

$$\int_\alpha \omega_1\omega_2 + \int_\beta \omega_1\omega_2 + \int_\alpha \omega_2\omega_1 + \int_\beta\omega_2\omega_1 = 2\int_\alpha\omega_1\omega_1+2\int_\beta\omega_2\omega_2$$ es decir, $$ \left(\int_\alpha\omega_1\right)\left(\int_\alpha\omega_2\right)+ \left(\int_\beta\omega_1\right)\left(\int_\beta\omega_2\right)= \left(\int_\alpha\omega_1\right)^2+\left(\int_\beta\omega_2\right)^2,$$

el que no estoy totalmente seguro de que es correcta. Tengo tres preguntas relacionadas con esta:

1) ¿alguien Puede dar una prueba de esta fórmula? No soy capaz de encontrar uno que se hace referencia en cualquier parte, pero creo que es un ingenioso applyication básicos shuffle producto (etc...) fórmulas de integrales iteradas.

2) Más conceptualmente, hay una razón por la que esperar que esa relación para mantener (es decir, sin tener que calcular explícitamente)? Por ejemplo, supongamos $M$ $2\times 2$ período matriz $A$; tal y como yo lo entiendo esta matriz proporciona los coeficientes de un isomorfismo entre la de Rham cohomology y singular cohomology de $M$. ¿Por qué debería su determinante se refieren a la integral iterada sobre el colector de los dos generadores de $H_1(M)$ dado por las imágenes de $\alpha, \beta$ en el abelianistion mapa de $\pi_1 (M,x)\to H_1 (M)$?

3) Cuando el período de la matriz es mayor, hay más relaciones entre el determinante y la más complicada de las integrales iteradas participaron elementos de la $\pi_1 (M,x)$ y la base de los elementos para $H^1_{ dR} (M)$?

Answer 1

El uso repetido de las $\int_{\gamma_1\gamma_2}\omega_1\omega_2=\int_{\gamma_1}\omega_1\omega_2+\int_{\gamma_2}\omega_1\omega_2+\int_{\gamma_1}\omega_1\int_{\gamma_2}\omega_2$ $\int_{\gamma^{-1}}\omega_1\omega_2=\int_\gamma\omega_2\omega_1$ $\int_{\gamma^{-1}}\omega=-\int_\gamma\omega$ (todos a partir de sus notas de la conferencia), se obtiene $$\int_{\alpha \beta \alpha^{-1} \beta^{-1}} \omega_1 \omega_2=\int_\alpha\omega_1\omega_2+\int_\alpha\omega_2\omega_1+\int_\beta\omega_1\omega_2+\int_\beta\omega_2\omega_1+\int_\alpha\omega_1\int_\beta\omega_2-\int_\alpha\omega_1\int_\alpha\omega_2$$ $$-\int_\alpha\omega_1\int_\beta\omega_2-\int_\beta\omega_1\int_\alpha\omega_2 -\int_\beta\omega_1\int_\beta\omega_2+\int_\alpha\omega_1\int_\beta\omega_2$$ Ahora uso $\int_\alpha\omega_1\int_\alpha\omega_2=\int_\alpha\omega_1\omega_2+\int_\alpha\omega_2\omega_1$ (y lo mismo para $\beta$) ver cómo todos los términos de cancelación, salvo para $$\int_\alpha\omega_1\int_\beta\omega_2-\int_\beta\omega_1\int_\alpha\omega_2$$ como se quería demostrar.

No tengo una buena respuesta a tu otra pregunta, pero echa un vistazo a algunas texto más completo sobre Chen integrales iteradas (y su versión de racional homotopy teoría) - la mejor fuente de Chen de papel (Iterada ruta de las integrales), pero también hay un buen viejo libro Hain (las integrales Iteradas y homotopy períodos).