Covarianza de los procesos tipo movimiento browniano

Question

Sabemos que $\operatorname{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t)$ si $B_t$ es un movimiento browniano.

¿Qué es? $\operatorname{Cov}(B_{f(s)},B_{f(t)})$ para algún inyectivo $f$ ?

¿Cómo puedo escribir $B_{f(t)}$ en forma de proceso Ito $dX=\mu(X,t)dt+\sigma(X,t)dB_t$ ¿o integral de Ito?

Answer 1

Dejemos que $f: [0,\infty) \to [0,\infty)$ y $s,t \in [0,\infty)$ . Entonces

$$\DeclareMathOperator{cov}{cov} \cov(B_{f(s)},B_{f(t)}) = \min \{f(s),f(t)\}$$

desde $\cov(B_u,B_v)=\min\{u,v\}$ es válida para todos los $u,v \in [0,\infty)$ Así que, en particular, para $u:=f(s)$ , $v:=f(t)$ .

En cuanto a su segunda pregunta:

Teorema: Sea $(X_t)_{t \geq 0}$ una martingala local continua, $X_0=0$ . Entonces existe un movimiento browniano $(W_t)_t$ (con respecto a una filtración $(\mathcal{G}_t)_{t \geq 0}$ ) tal que $X_t = W_{[X]_t}$ donde $[X]$ denota el compensador de $X$ .

(Puede encontrar más información aquí es el teorema 1).

En este caso: Si existe una función $g$ tal que $f(t)=\int_0^t g(s)^2 \, ds$ entonces podemos definir

$$X_t := \int_0^t g(s) \, dB_s$$

que da $[X]_t = \int_0^t g(s)^2 \, ds=f(t)$ . Aplicando el teorema obtenemos que existe un movimiento browniano $(W_t)_{t \geq 0}$ tal que $$X_t = \int_0^t g(s)^2 \, dB_s = W_{[X]_t} = W_{f(t)}$$

Esto funciona en particular si $f$ es diferenciable y $f(0)=0$ , poned $g(s) := \sqrt{f'(s)}$ . Por supuesto, eso no es lo que buscabas, ya que querías encontrar una representación como proceso Itô para un movimiento browniano dado.

El problema es el siguiente: Se podría definir (como en el caso anterior)

$$X_t := \int_0^t g(s) \, dB_s$$

donde $g(s) := \sqrt{f'(s)}$ , $f(0)=0$ . Entonces $X_t$ es una variable aleatoria gaussiana centrada con varianza $f(t)$ y $X_t-X_s$ tiene una varianza $f(t)-f(s)$ lo que significa que $X_t$ tiene la misma distribución que el movimiento browniano con cambio de tiempo $B_{f(t)}$ . Pero no son necesariamente los mismos procesos. Si se elige, por ejemplo $f(t):=2t$ se obtiene

$$X_t = \int_0^t \sqrt{2} \, dB_s = \sqrt{2} B_t$$

y está claro que no es el mismo proceso que $B_{f(t)} = B_{2t}$ . Por otro lado, sabemos que $W_t := \sqrt{2} \cdot B_{\frac{t}{2}}$ es un movimiento browniano y obviamente $$X_t = \sqrt{2} \cdot B_{t} = \sqrt{2} \cdot B_{\frac{2t}{2}} = W_{2t} = W_{f(t)}$$

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Observación:

1. Dejemos que $X_t := \int_0^t f_s \, dB_s$ donde $f: \Omega \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $\mathbb{E}\left(\int_0^t f(s)^2 \, ds\right)<\infty$ . Entonces $(X_t)_t$ es una martingala y el compensador viene dado por $$[X]_t = \int_0^t f(s)^2 \, ds$$ Si $f$ es determinista, es decir $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ Por lo tanto, sabemos que $(X_t)$ tiene un compensador determinista.
2. Consideremos el proceso $(t,\omega) \mapsto B(f(t),\omega)$ donde $f: [0,\infty) \to [0,\infty)$ es una función inyectiva determinista tal que $f(0)=0$ . En este caso $f$ determina la velocidad con la que se recorren las trayectorias $(t,\omega) \mapsto B(t,\omega)$ . Por ejemplo $f(t):=2t$ significa que se recorren las trayectorias el doble de rápido.