Negando la Definición de una Secuencia Convergente para Encontrar la Definición de una Secuencia Divergente

Question

Mi tarea es escribir una afirmación matemática precisa de que "la secuencia $(a_n)$ no converge a un número $\mathscr l$"

Así que tengo mi definición de una secuencia convergente: "$\forall\varepsilon>0$ $\exists N\in\Bbb R$ tal que $|x_n -\mathscr l|<\varepsilon$ $\forall n \in \Bbb N$ con $n>N$"

¿Será que la negación correcta de esto es "$\forall\varepsilon>0$ $\exists N\in\Bbb R$ tal que $|x_n -\mathscr l|>\varepsilon$ $\forall n \in \Bbb N$ con $n>N$"?

No parece que esta sea la respuesta, ya que la siguiente parte de mi tarea es demostrar que una secuencia es divergente usando mi prueba formulada, pero sería difícil de hacer ya que es una prueba general de divergencia y no solo una prueba de que $(a_n)$ no converge a un número específico $\mathscr l$

¿Quizás debería demostrar que $(a_n)$ tiende a $\pm\infty? Esto es más sencillo pero no incluye secuencias monótonas como $x_n:=(-1)^n$.

¿Alguien puede ayudarme con esta tarea? Se agradecen todos los comentarios y respuestas.

Answer 1

Esto no es la negación correcta. Considere $x_n = (-1)^n$ y $l = 1$. La negación correcta puede ser expresada como $$\exists\ \epsilon > 0,\ \forall\ N \in \mathbb R\ \exists\ \mathbb N \ni n > N : |x_n - l| \ge \epsilon$$

Answer 2

No, lo que has escrito no es correcto.

Parece que necesitas practicar la negación de afirmaciones cuantificadas múltiples. La idea clave es que cuando mueves una negación más allá de un cuantificador, cambia el cuantificador de universal a existencial o viceversa. Así por ejemplo

$\neg (\forall x$ $P(x))$

es lógicamente equivalente a

$\exists x (\neg P(x))$.

Aquí $\neg$ significa "no".

También sería bueno encontrar un ejemplo para demostrar que tu negación propuesta de "$a_n \rightarrow l$" no necesariamente es correcta. Como pista: tu condición implica que la secuencia es ilimitada.

No entendí realmente la segunda parte de tu pregunta. En particular, no entiendo "la próxima parte de mi tarea es probar que una secuencia es divergente usando mi prueba formada". Tal vez sea mejor enfocarse en una pregunta a la vez. Una vez que entiendas correctamente la pregunta de la negación, puedes hacer la siguiente parte como una nueva pregunta si lo deseas.

Answer 3

La afirmación sería algo así:

$ \forall L, \exists \epsilon > 0 : \forall N, \exists n>N : |a(n)-L| \geq \epsilon$

Answer 4

Simplemente voy a definirlo en palabras y luego explicar la formulación.

La definición de convergencia dice que para cada valor de $\epsilon > 0$, definitivamente obtendrás un número natural $N(\epsilon)$ tal que $|x_n-l|<\epsilon$ para todo $n \geq N(\epsilon)$ (donde $l$ es el punto de convergencia).

Ahora, para negar esta afirmación, solo tienes que encontrar al menos un $\epsilon > 0$ para el cual no exista un $N(\epsilon)$ tal que $|x_n-l|<\epsilon$ para todo $n \geq N(\epsilon)$. Esto es equivalente a decir que para todos los números naturales $N$ obtendrás al menos un número natural $M$ tal que $|x_M-l|>\epsilon$ donde $M > N$.

Por ejemplo, comenzarás con $N=1$ y definitivamente obtendrás un número natural $M_1$ mayor que 1 para el cual $|x_{M_1}-l|>\epsilon$. Si comienzas con $N=2$, entonces definitivamente obtendrás un número natural $M_2$ mayor que 2 para el cual $|x_{M_2}-l|>\epsilon$, y esto seguirá así para todos los números naturales $N$.

La afirmación lógica de esto, entonces, se convierte en $$ \exists\ \epsilon > 0,\ \forall\ N \in \mathbb N\ \exists\ \mathbb N \ni n > N : |x_n - l| \ge \epsilon $$