Por qué $\mathbb{C}(f(t),g(t))=\mathbb{C}(t)$ implica que el $\gcd(f(t)-a,g(t)-b)=t-c$, para algunas de las $a,b,c \in \mathbb{C}$?

Question

Suponga que $f(t),g(t) \in \mathbb{C}[t]$ satisfacer las dos condiciones siguientes:

(1) $\deg(f) \geq 2$ e $\deg(g) \geq 2$.

(2) $\mathbb{C}(f(t),g(t))=\mathbb{C}(t)$.

En esta pregunta se mencionó que en ese caso, existen $a,b,c \in \mathbb{C}$ tal que $\gcd(f(t)-a,g(t)-b)=t-c$.

Por desgracia, no veo por qué esto es cierto.

Tal vez Teorema 2.1 (sobre resultantes) o esta pregunta (acerca de subresultants) puede ayudar de alguna manera (tal vez no).

Todas las sugerencias son bienvenidas!

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Edit: Bajo los mismos supuestos (1) y (2), es la siguiente afirmación verdadera?

Reclamo: existen $a,c \in \mathbb{C}$ tal que $\gcd(f(t)-a,g(t))=t-c$.

Parece que, de acuerdo a la respuesta, debemos tomar las $c$ tal que $g(c)=0$; sólo hay un número finito de estos $c$'s, y tal vez ninguno de ellos también satisface $f'(c)\neq 0$ etc.? O tal vez la afirmación es verdadera, pero gracias a un argumento diferente?

Tal vez el reclamo no puede mantener si $Q(f(c),g(c))=Q(f(c),0)=0$?

Todas las sugerencias y comentarios son bienvenidos!

Answer 1

Podemos suponer que la $f$ e $g$ son monic. Existe algún valor distinto de cero de dos polinomios de variable $P,Q$ tal que $P(f(t),g(t))=tQ(f(t),g(t))$, e $Q(f,g)(t)=0$ sólo un número finito de veces (más de la composición de la $P/Q (f,g)$ no está definido debido a $Q(f,g)=0$).

Deje $c$ ser tal que $f'(c) \neq 0$, y no existe $d$ tal que $Q(f(d),g(d))=0$ e $f(d)=f(c)$.

A continuación, $f(t)-f(c)$ e $g(t)-g(c)$ tienen sólo $c$ como una raíz común, debido a que cualquier raíz de $d$ satisface $(f,g)(d)=(f,g)(c)$, lo $d=(P/Q)(f(d),g(d))=(P/Q)(f(c),g(c))=c$. Por otra parte, $c$ es una raíz simple de $f-f(c)$. Por lo que el mcd de los polinomios es $t-c$.