Suma finita e identidad de la función gamma

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente igualdad (que ha surgido cuando estaba tratando de demostrar que $E|S_n| \rightarrow \sqrt{\frac{2n}{\pi}}$ ):

$$ \sum_{x=1}^k \frac{x}{(k+x)!(k-x)! } = \frac{1}{2 \Gamma(k+1)\Gamma(k)}.$$

Intenté expandir el lado izquierdo de diferentes maneras pero lo más cercano que conseguí es esto:

$$\frac{1}{2 \Gamma(k+1)\Gamma(k)} = \frac{k}{2 (k!)^2}, \quad \sum_{x=1}^k \frac{x}{(k+x)!(k-x)! } = \frac{k}{(k!)^2}\left( 1\cdot\frac{1}{k+1} + 2\cdot\frac{(k-1)}{(k+1)(k+2)} +...+k \cdot \frac{(k-1)!}{(k+1)(k+2)...(2k)}\right).$$

Así que, ahora estoy atascado probando que esta última suma es $\frac{1}{2}.$

Answer 1

La suma $S$ en el LHS es $$ S=\sum_{x=0}^k\frac{k+x-k}{(k+x)!(k-x)!}=T-kR, $$ donde $$ T=\sum_{x=0}^k\frac1{(k+x-1)!(k-x)!},\qquad R=\sum_{x=0}^k\frac1{(k+x)!(k-x)!}, $$ por lo que $$ T=\frac1{(k-1)!k!}+\sum_{i+j=2k-1}\frac{\mathbf 1_{i\gt j}}{i!j!},\qquad R=\sum_{i+j=2k}\frac{\mathbf 1_{i\geqslant j}}{i!j!}. $$ Si $i+j=2k-1$ entonces $i\ne j$ por lo tanto, por simetría, $$ 2T-\frac2{(k-1)!k!}=\sum_{i+j=2k-1}\frac1{i!j!}=[t^{2k-1}](\mathrm e^t\cdot\mathrm e^t)=\frac{2^{2k-1}}{(2k-1)!}, $$ donde $[t^n](\varphi(t))$ es el coeficiente de $t^n$ en la expansión de la potencia de $\varphi(t)$ . Asimismo, la duplicación $R$ cuenta dos veces el plazo $i=j=k$ por lo que $$ 2R-\frac1{(k!)^2}=\sum_{i+j=2k}\frac1{i!j!}=[t^{2k}](\mathrm e^t\cdot\mathrm e^t)=\frac{2^{2k}}{(2k)!}. $$ Se ve que $$ 2kR-\frac{k}{(k!)^2}=k\frac{2^{2k}}{(2k)!}=\frac{2^{2k-1}}{(2k-1)!}=2T-\frac{2k}{(k!)^2}, $$ por lo que $$ 2S=2T-2kR=\frac{k}{(k!)^2}=\frac1{k!(k-1)!}. $$