elementos positivos en $M_n(A^+)$

Question

Tengo una (tal vez simple) pregunta con respecto a los elementos positivos en el tensor de productos con la matriz de álgebras. Deje $A$ $C^*$- álgebra y $A\otimes M_n(\mathbb{C})$ el (mínima) de un producto tensor de $A$$M_n(\mathbb{C})$. Deje $A^+$ la unificación de $A$.

¿Por qué cada elemento positivo en $ A^+\otimes M_n(\mathbb{C})\cong M_n(A^+)$ parecerse a $a+x\otimes 1_{A^+}$ $a^*=a \in M_n(A)$ $x\in M_n(\mathbb{C})$ $x\ge 0$ (o de las cantidades de tales $a+x\otimes 1_{A^+}$)?

Entiendo que si $a+x\otimes 1_{A^+} \in A^+\otimes M_n(\mathbb{C})$ es positivo, debe ser$a^*=a$$x\ge 0$. Pero no entiendo por qué cada elemento positivo en $M_n(A^+)$ se ve como un elemento $a+x\otimes 1_{A^+}$ (o de las cantidades de la misma).

Le agradezco su ayuda.

Answer 1

Cada elemento en $A^+$ es de la forma $a+\lambda 1_{A^+}$. Al $z\geq0$, en particular, que $z=w^*w$ algunos $w\in M_n(A^+)$. Tenemos que cada una de las $w_{kj}$ es de la forma $$ w_{kj}=b_{kj}+\lambda_{kj}\,1_{A^+}, $$ con $b_{kj}\in A$, $\lambda_{kj}\in \mathbb C$. Ahora las entradas de $z$ son de la forma \begin{align} z_{kj}&=\sum_\ell (w^*)_{k\ell}w_{\ell j}=\sum_\ell w_{\ell k}^*w_{\ell j} =\sum_\ell (b_{\ell k}^*+\overline{\lambda_{\ell k}}\,1_{A^+})(b_{\ell j}+\lambda_{\ell j}\,1_{A^+})\\ \ \\ &=\sum_\ell b_{\ell k}^*b_{\ell j}+\overline{\lambda_{\ell k}}\,b_{\ell j}+\lambda_{\ell j}b_{\ell k}^*+\overline{\lambda_{\ell k}}\lambda_{\ell j}\,1_{A^+} \end{align} Ahora vamos a $a_\ell$ $x_\ell$ ser las matrices con entradas $$ (a_\ell)_{kj}=b_{\ell k}^*b_{\ell j}+\overline{\lambda_{\ell k}}\,b_{\ell j}+\lambda_{\ell j}b_{\ell k}^*,\ \ \ \ \ (x_\ell)_{kj}=\overline{\lambda_{\ell k}}\lambda_{\ell j}. $$ Tenemos $$ [(a_\ell)_{jk}]^*=b_{\ell k}^*b_{\ell j}+\overline{\lambda_{\ell k}}\,b_{\ell j}+\lambda_{\ell j}b_{\ell k}^*=(a_\ell)_{kj}, $$ por lo $a_\ell^*=a_\ell$. Y $$ x_\ell=y_\ell^*y_\ell\geq0, $$ donde $$ y_\ell=\begin{bmatrix}\lambda_{\ell1}\cdots\lambda_{\ell n}\end{bmatrix}. $$ Por lo tanto, $$ z=\sum_\ell a_\ell+x_\ell\otimes 1_{A^+} $$ Si ahora ponemos $a=\sum a_\ell$$x=\sum x_\ell$, obtenemos $$ z=a+x\otimes\,1_{A^+}, $$ con $a=a^*$$x\geq0$.

Answer 2

Es probablemente la mejor manera de pensar de $\mathbb{C}$ como una subalgebra de $A^+$. Del mismo modo, uno tiene que $M_n(\mathbb{C})$ es una subalgebra de $M_n(A^+)$.

De todos modos, hay un $*$-homomorphism $s: A^+ \to \mathbb{C}$ que se toma fuera de la escalares parte. El núcleo de $s$ es exactamente $A$, e $s$ actúa de forma idéntica en la copia de $\mathbb{C}$. Que pasa con las matrices, hay un inducida $*$-homomorphism $s_n:M_n(A^+) \to M_n(\mathbb{C})$. El núcleo de $s_n$ es exactamente $M_n(A)$ $s_n$ actúa de forma idéntica en la copia de $M_n(\mathbb{C})$.

Deje $y$ ser un elemento positivo de $M_n(A^+)$. Desde $*$-homomorphisms preservar la positividad, sabemos $x = s_n(y)$ es un elemento positivo de $M_n(\mathbb{C})$. También, dado que las diferencias de sí mismo-adjoint elementos son auto-adjunto, sabemos $a = y - x$ es auto-adjunto. Además, $a \in M_n(A)$, ya que, por ejemplo, pertenece al núcleo de $s_n$. Por lo tanto, $y = a +x$ tiene la forma deseada.

Disculpas si esto parece demasiado formal, personalmente, no estoy encantado con lo que acabo de escribir.