Es $\left(\sum_{n=1}^N\frac{a_n}{N}\right)^N\left(\sum_{n=N+1}^{2N}\frac{a_n}{N}\right)^N≠\left(\sum_{n=1}^{2N}\frac{a_n}{2N}\right)^{2N}$?

Question

Vamos $$G_N= \prod_{n=1}^Na_n$$ y $$A_N=\left(\frac{\sum_{n=1}^Na_n}{N}\right)$$ Así $$G_{2N}= \prod_{n=1}^{2N}a_n \\ =\left(\prod_{n=1}^{N}a_n\right)\left(\prod_{n=N+1}^{2N}a_n\right) \\ ≤_{IH}\left(\sum_{n=1}^N\frac{a_n}{N}\right)^N\left(\sum_{n=N+1}^{2N}\frac{a_n}{N}\right)^N$$

No entendía por qué lo siguiente es verdadero

$$\left(\sum_{n=1}^N\frac{a_n}{N}\right)^N\left(\sum_{n=N+1}^{2N}\frac{a_n}{N}\right)^N$$

implica

$$\left(\sum_{n=1}^{2N}\frac{a_n}{2N}\right)^{2N}$$

Pero yo uso N=10 como ejemplo con Mathematica

$$\left(\sum_{n=1}^N\frac{a_n}{N}\right)^N\left(\sum_{n=N+1}^{2N}\frac{a_n}{N}\right)^N≠\left(\sum_{n=1}^{2N}\frac{a_n}{2N}\right)^{2N}$$

Ver la siguiente imagen

Answer 1

Esto no implica una igualdad, sino una desigualdad, con $(A_{2N})^{2N}$, como por los dos variable AM-GM, tenemos $$\bigg(\sum_{n=1}^N \frac{a_n}{N}\bigg)\bigg(\sum_{n=N+1}^{2N}\frac{a_n}{N}\bigg) \leq \bigg(\sum_{n=1}^{2N}\frac{a_n}{2N}\bigg)^2 $$ Así tenemos a $$G_{2N} \leq (A_{2N})^{2N}$$ Usted puede averiguar cómo la igualdad caso de las transferencias. El uso de la inducción, esto es suficiente como prueba para todos los AM-GM desigualdades con $2^k$ variables, que es lo que yo creo que lo que estás leyendo está tratando de conseguir en.

Answer 2

Para demostrar que su igualdad es falsa, todo lo que se necesita es un ejemplo.

Tomar $a_1 = 1$ y $a_k = 0$ para $k > 1$.

Entonces $\left(\sum_{n=1}^N\frac{a_n}{N}\right)^N\left(\sum_{n=N+1}^{2N}\frac{a_n}{N}\right)^N =0 $ y $\left(\sum_{n=1}^{2N}\frac{a_n}{2N}\right)^{2N} =\frac1{(2N)^{2N}} $.