Probabilidad de que un número tenga $m$ factores indistintos

Question

Acabo de descubrir la función factor() de Matlab, y escribí al azar 20081294819, y para mi sorpresa sólo tenía dos factores (5099 y 3938281). Esperaba muchos más factores para un número tan grande y me preguntaba si esto era normal. Lo siguiente es lo que he hecho en mi investigación hasta ahora.

En la primera figura de abajo, he trazado la probabilidad de que algún número por debajo de $10^k$ tiene $m$ factores primos indistintos. La segunda figura muestra la evolución de la probabilidad de encontrar un número con $m$ factores primos indistintos a medida que crecen los números que uno mira, es decir, es sólo otra forma de visualizar los mismos datos. He dejado fuera todos los puntos de probabilidad cero.

Si se observa la primera parte de la figura, parece que el pico de la curva para algunos $k$ se desplaza hacia una mayor $m$ como $k$ crece.

Mi primera pregunta es la siguiente : ¿Este comportamiento (es decir, el desplazamiento del pico hacia $m$ como $k$ crece) continuará indefinidamente, o el pico se estabilizará en algún momento? Esto último parece poco probable, pero no puedo estar seguro.

Mi segunda pregunta es la siguiente : Aproximadamente, ¿a qué velocidad se produce el valor de pico $m_{peak}$ moverse como $k$ ¿crece?

Miré brevemente el Teorema de Erdõs-Kac pero esto implica primos distintos y realmente no sé mucho de teoría de números, así que cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Los resultados para primos distintos e indistintos son prácticamente idénticos. Esto se debe a que $$\sum_{n\leq x}|\Omega(n)-\omega(n)|=o\left(\sum_{n\leq x} \Omega(n)\right)$$ donde $\Omega(n),\omega(n)$ cuentan el número de divisores primos con y sin multiplicidad, respectivamente. En consecuencia, el teorema de Erdos-Kac se aplicará igualmente a su caso, y vemos que el número de factores primos de los enteros en el intervalo $[1,x]$ , contada con multiplicidad, converge débilmente a una distribución normal con media $\log \log x$ y la desviación estándar $\sqrt{\log \log x}$ . En concreto, para cualquier $a<b$ tenemos que $$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x}\#\left(n\leq x:\ a\leq \frac{\Omega(n)-\log \log x}{\sqrt{\log \log x}}\leq b\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_a^b e^{-x^2/2}dx.$$ Para un valor fijo de $k$ , es decir, para $k$ que no crece con $x$ podemos contar el número de enteros con $k$ factores primos (contados con multiplicidad) y encontrar que será asintótica a $$\sum_{n\leq x:\Omega(n)=k}1\sim \frac{x(\log \log x)^{k-1}}{(k-1)!\log x}.$$ (Obsérvese que esta asíntota adopta una forma diferente si dejamos $k$ ir al infinito con $x$ El teorema de los números primos, es decir, la afirmación $\sum_{p\leq x}1\sim \frac{x}{\log x}$ es cuando $k=1$ . Esta generalización se puede obtener a partir del teorema de los números primos utilizando la suma parcial repetida, y esta asintótica describe los diferentes tipos de picos que has estado observando en tus datos. El teorema de Erdos-Kac nos dice que el pico de la distribución del número de factores primos estará en $k\sim\log \log x$ .