La finalización de un espacio de secuencia

Question

Deje que $F$ ser un campo con algún valor absoluto $| \cdot |$ . Considere el espacio $X$ de secuencias $ \mathbf {a} = (a_1, a_2, a_3, \cdots )$ para el cual $a_i \in F$ para todos $i \in\mathbb {N}$ y a lo sumo finamente muchos $a_i$ no son cero. Definir sobre $X$ una norma $$\| \mathbf {a}\| = \sum_ {i=1}^{ \infty } |a_i|$$ Esta norma induce una métrica en $X$ . Estoy interesado en averiguar cuál es la finalización de $X$ bajo esta métrica. Sospecho que son exactamente las secuencias $ \mathbf {a} = (a_1, a_2, \cdots )$ para el cual $ \sum_ {i=1}^{ \infty } a_i$ es sumable. ¿Cómo podría probar esto?

Answer 1

Parece lo siguiente.

Poner

$$\hat X=\{(a_i)\in F^\Bbb N: \sum_{i=1}^{\infty} |a_i|<\infty\}.$$

Definir en $\hat X$ una norma $$\|\mathbf{a}\|’ = \sum_{i=1}^{\infty} |a_i|.$$

Esta norma induce una métrica sobre $\hat X$ , lo que lo convierte en un espacio métrico completo.

Además, $\|\cdot\|’|_X=\|\cdot\|$ y $X$ es un subespacio denso del espacio $\hat X$ . Así que el espacio $\hat X$ es una terminación del espacio $X$ .