Una partícula cuántica, que es casi en reposo, pero cuya posición es al azar!

Question

Suponga que una partícula está dada por un estado cuántico que está construido de tal manera que es igualmente probable encontrar en cualquier lugar en un intervalo fijo $(0,L)$ pero se ha arbitrariamente de baja velocidad. La partícula está casi en el descanso, pero su posición es aún azar!

Voy a dar una construcción de un estado cuántico. Vamos

$$\psi(x) = B(x)e^{ikx},$$

donde $B(x)$ es una función con buen corte fuera de que es casi como la de un cuadrado en función de la cual se $1$ $(0,L)$ y cero en todas las demás. ( He introducido $B(x)$ sobre el cuadrado de la función de eliminar los argumentos sobre la continuidad de la $\psi(x)$).

La más probable impulso de esta partícula es $k$ con un manageble incertidumbre. Si fijamos $L$ a ser en ciertos alto valor, entonces la incertidumbre en el momento se fija en un valor bajo.

Ahora la pregunta es, en el anterior conjunto, podemos optar $k$ ser arbitrariamente pequeño y con casi el mismo bajo incertidumbre y todavía su posición distribuyen por igual en todo un intervalo de $(0,L)$.

En esencia tenemos válido de un estado cuántico en el que la partícula está casi en reposo, pero cuya posición es totalmente aleatorio en un intervalo. Aunque soy nuevo en la mecánica cuántica, esto me parece muy interesante y casi difícil de imaginar una situación del mundo real. Es esta una posible falla en QM? Agradecería sus comentarios y explicación de las dificultades en este argumento.

Answer 1

I) Un mollifier $B$ veces que una onda plana de $e^{ikx}$ es un ejemplo de un buen paquete de ondas $\psi\in {\cal H}=L^2(\mathbb{R})$. La incertidumbre de Heisenberg relación es un matemático consecuencia de la CCR, y sostiene, en particular, para el mencionado paquete de ondas $\psi$.

II) Intuitivamente, la expectativa de valor de

$$\langle \hat{p}\rangle~=~\frac{\langle \psi |\hat{p}|\psi\rangle}{\langle \psi|\psi\rangle}$$

el impulso del operador es de aproximadamente el desnudo plano de la onda de impulso $\hbar k$; y la lenta variación de mollifier $B$ inevitablemente crea un pequeño posible, pero estrictamente no-cero incertidumbre y tolerancia

$${\rm Var}(\hat{p})~=~\frac{\langle \psi |(\hat{p}-\langle \hat{p}\rangle)^2|\psi\rangle}{\langle \psi|\psi\rangle}~>~0$$

en el impulso; independientemente de que el valor del plano de onda número de onda $k$.

III) Si el lector está nada convencido por los argumentos anteriores, entonces es una buena práctica educativa para reemplazar el mollifier $B$ por un varía suavemente función de Gauss, y explícitamente calcular cómo funciona todo.

Answer 2

Esta es una consecuencia del principio de incertidumbre que no sólo no es posible defecto de la QM, es un hecho experimental. Se puede observar esto más o menos directamente en Bose-Einstein condensados de ultracold átomos, por ejemplo. Por el contrario, la presión de confinamiento es esencial para la estabilidad de los átomos como usted descubrirá en su QM curso. Se ha comprobado en miles de otras maneras también. Incluso tiene consecuencias presupuestarias: es la razón por la que el LHC tiene que ser tan grande como para encontrar cosas como el bosón de Higgs, que sólo podrá ser visto a muy corta distancia de las escalas.