Sois, sin duda, mirando en la dirección correcta, pero algunas de las cosas que usted está diciendo es un poco confuso. Básicamente, se han descrito dos formas de resolver el problema de forma simultánea, y dos de ellos están en lo correcto. Voy a tratar de distinguir entre los dos enfoques, y para cada enfoque veremos cómo ir más allá.
El primer enfoque. El primer enfoque es exactamente lo que dice en el segundo párrafo. Encontrar todos los homomorphisms $\theta \colon C_3 \to {\rm Aut}(C_{42})$, puede utilizar el hecho de que ${\rm Aut}(C_{42})$ es isomorfo a $C_{12}$. Para resolver el problema, usted necesita para encontrar todos los homomorphisms $\varphi \colon C_3 \to C_{12}$ y cualquier isomorfismo $\psi \colon C_{12} \to {\rm Aut}(C_{42})$. A continuación, puede obtener todos los posibles homomorphisms $\theta \colon C_3 \to {\rm Aut}(C_{42})$ como composiciones $\theta=\psi \circ \varphi$.
El segundo enfoque. Pero eso no es lo que empecé a hacer en el párrafo 3 y más allá. Lo que hice allí es señalar un enfoque ligeramente diferente, que es más corto y más fácil que el largo camino desde el primer enfoque. La única confuso cosa es esta frase de que "la necesidad de asignar el generador de $C_3$ (que es de orden 3) a un generador de $C_{42}$ a través de una automorphism de orden $3$ también". Lo que probablemente significa es que usted necesita para asignar el generador de $a$ $C_3$ a un automorphism $\mu \in {\rm Aut}(C_{42})$ tal que $\mu^3 = {\rm Id}$.
Tenga en cuenta que $\mu$ no necesita tener un orden $3$. También puede tener un orden $1$. No hay nada malo en eso, porque la imagen homomórfica de $C_3$ ${\rm Aut}(C_{42})$ puede ser isomorfo a $C_3$ o trivial.
Así que lo que usted necesita hacer es encontrar todas las posibles $\mu \in {\rm Aut}(C_{42})$ tal que $\mu^3 = 1$. A continuación, para cada una de dichas $\mu$ tendrá un homomorphism $\theta \colon C_3 \to {\rm Aut}(C_{42})$ tal que $\theta(a) = \mu$, y por lo tanto usted encontrará todos homomorphisms.
De nuevo, como usted bien señala, si $\mu \in {\rm Aut}(C_{42})$, $\mu$ hechos por tomar algunos de los $k$-ésima potencia de cada elemento: $\mu(x) = x^k$ por cada $x \in C_{42}$. Diciendo que $\mu^3=1$ es lo mismo que decir que $k^3 \equiv 1 \mod 42$. Así que sí, todo lo que queda por hacer es encontrar todos $k$ (hasta equivalencia modulo 42). Para cada una de dichas $k$ no es un porcentaje ($\mu \in {\rm Aut}(C_{42})$tal que $\mu(b)=b^k$ y un homomorphism $\theta \colon C_3 \to {\rm Aut}(C_{42})$ tal que $\theta(a) = \mu$.
Wow, esto ya es un buen texto. Para resumir, lo está haciendo bien. Yo sugeriría acabado con el segundo enfoque, primero, y luego, si usted está para arriba para él, haciendo el primer enfoque demasiado y asegurarse de que finalmente dará el mismo resultado.
ACTUALIZACIÓN: en realidad, todavía no es todo el problema. Después de que usted haya encontrado todos los homomorphisms $\theta \colon C_3 \to {\rm Aut}(C_{42})$, cada homomorphism le dará un semidirect producto $G= C_{42} \rtimes_\theta C_3$. Pero cuidado! Si se tienen dos diferentes homomorphisms $\theta_1, \theta_2 \colon C_3 \to {\rm Aut}(C_{42})$, entonces los dos semidirect productos $G_1 = C_{42} \rtimes_{\theta_1} C_3$ $G_2 = C_{42} \rtimes_{\theta_2} C_3$ todavía puede ser isomorfo! Si tal cosa ocurre, entonces el número de no-isomorfo semidirect productos será menor el número de homomorphisms $\theta$ que encontró antes. Así que, buena suerte averiguar cómo muchos productos diferentes de verdad que hay (sugerencia: no tantos).
