Así la pregunta que se me presentó este. La función dada,
$$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x + 2,\,\;\;\;x < 2}\\{\sqrt {2x} ,\;\;\;\;\;\;x \ge 2}\end{array}} \right.
$$
Ahora tenemos que comprobar si la función dada es differenciable en $x=2$ ?
Mi planteamiento:
Para que esta función sea derivable, la mano izquierda de derivados y la mano derecha de derivados debe salidas, y ambos son iguales.
La mano izquierda de derivados:
$$\begin{array}{c}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {\frac{1}{2}x + 2} \right) - \left( {\frac{1}{2}\left( 2 \right) + 2} \right)}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {\frac{1}{2}x + 2} \right) - 3}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\frac{1}{2}x - 1}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - 2}}{{2\left( {x - 2} \right)}}\end{array}
$$
Esto le da,
$$\begin{array}{c}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{}}{{2}}\\ = \frac{1}{2}\end{array}
$$
La mano derecha de derivados:
$$\begin{array}{c}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {\sqrt {2x} } \right) - \left( {\sqrt {2\left( 2 \right)} } \right)}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {2x} - \sqrt 4 }}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {2x} - 2}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {2x} - 2}}{{x - 2}} \times \frac{{\sqrt {2x} + 2}}{{\sqrt {2x} + 2}}\end{array}
$$
Esto le da,
$$\begin{array}{c}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {2x} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{2}{{\left( {\sqrt {2x} + 2} \right)}}\\ = \frac{2}{{2 + 2}}\\ = \frac{1}{2}\end{array}
$$
El problema es la mano derecha de derivados y de la mano izquierda derivados están llegando mismo. Me doy cuenta de que su diferenciable en a $x=2$.
La gráfica de la función es,
$f(x)$ Gráfico
La función se suspende en $x=2$. Así, no es diferenciable en a $x=2$.
Donde he ido mal ? Cómo puedo demostrar analíticamente sin tomar la ayuda de la gráfica que la función no es diferenciable en a $x=2$?
