A la inversa de Poincaré Lema

Question

El lema de Poincaré estados que contractibilidad implica la trivialidad de de Rham cohomology grupo. Hace lo contrario todavía verdad? Si el de-Rham cohomology es trivial, entonces el colector es contráctiles?

Answer 1

No. Por ejemplo, $\mathbb{RP}^2$ ha trivial de Rham cohomology, pero no contráctiles (su grupo fundamental es trivial, por ejemplo).

Answer 2

No. La de Poincaré de homología de la 3-esfera, por ejemplo, es un buen 3-colector de cuyo (entero) homología de grupos son los de $S^3$. Si se quita un punto de ella, se obtiene un homologically triviales múltiples, pero no contráctiles. (En particular, su grupo fundamental es distinto de cero).