Inferir la estructura de bloques de Jordan a partir de la dimensión de los espacios nulos

Question

Supongamos que $T- \lambda I$ es una transformación lineal nilpotente sobre el espacio vectorial $V$ con índice de nilpotencia $m < \mathrm{dim}V$ .

Supongamos que sabemos $n_k = \mathrm{dim}(T - \lambda I)^k$ para $k = 1, 2, \cdots m$ .

Sé que el número de sub-bloques de Jordan es $n_ 1 = \mathrm{dim}(T - \lambda I)$ .

También entiendo que la longitud máxima de una cadena o ciclo será $ m $ En otras palabras, el tamaño máximo de los sub-bloques de Jordan es $m$ .

En muchos lugares se indican fórmulas adicionales que dan la distribución de los bloques de Jordania de varios tamaños si todos los $n_k$ son conocidos. ¿Cuál es la prueba de tales resultados?

En otras palabras, ¿puede alguien explicar con una prueba qué información sobre el bloque de Jordan hace $n_2 = \mathrm{dim}(T - \lambda I)^2$ ¿llevar?

Para mí, eso sólo significa que hay $n_2$ vectores base de $\mathrm{dim}(T - \lambda I)^2$ de los cuales $n_1$ son vectores base de $\mathrm{dim}(T - \lambda I)$ .

Pero, ¿cómo se relaciona todo esto con el número de bloques Jordan de tamaño $2 \times 2$ ?

Answer 1

Si tiene un solo bloque Jordan $A$ con valor propio 0, es decir, las entradas diagonales son cero, entonces $dim A^k = n-1-k$ para $k=0,...,n-1$ y $A^k=0$ para $k>n-1$ . En otras palabras, cada vez que se aumenta la potencia en uno, la dimensión baja en uno, a menos que ya se haya llegado a la dimensión mínima (que es cero) y entonces no cambia.

Si tiene varios bloques en un $n\times n$ matriz, entonces $n-\dim A$ es igual al número de bloques (incluyendo $1\times 1$ bloques que son sólo cero. En $\dim A$ a $\dim A^2$ se disminuye en 1 por cada bloque que sea al menos de tamaño 2. De ello se desprende que $dim A - dim A^2$ es el número de bloques de dimensión al menos 2. También se obtiene que $(n- \dim(A))-(\dim(A)-\dim(A))=n-2\dim(A)+\dim(A^2)$ es el número de bloques de tamaño 1. Un argumento similar demostrará que $\dim(A^{k-1})-\dim(A^k)$ es el número de bloques de al menos tamaño k.

EDITAR:

Veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos una matriz de la forma $$A=\left(\begin{array}{ccccc} J_{2} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & J_{2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & J_{3} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & J_{4} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & J_{4} \end{array}\right)$$ donde $J_i$ es un bloque Jordan de tamaño $i\times i$ con ceros en la diagonal. En particular $rank(J_i)=\dim(J_i)=i-1$ . Por lo tanto, tenemos $\dim(A)=(2-1)+(2-1)+(3-1)+(4-1)+(4-1)$ es la suma de las dimensiones de los bloques de Jordan, mientras que el tamaño de la matriz $A$ es $n=2+2+3+4+4$ por lo que concluimos que $n-\dim(A)=5$ es el número de bloques de Jordan.

Tomando el cuadrado de $A$ significa tomar el cuadrado de cada bloque de Jordan. Para cada bloque de nuestra matriz tenemos ahora $\dim(J_i^2)=\dim(J_i)-1$ para que $\dim(A)-\dim(A^2)=5$ porque cada bloque contribuye con 1 (esto se debe a que $\dim(A^2)$ es sólo la suma de $\dim(J_i^2)$ ). Considere ahora $A^3$ - los bloques de la forma $J_2^2$ son ya 0 para que $\dim(J_2^2)=\dim(J_2^3)$ . Para $i>2$ volvemos a tener $\dim(J_i^3)=\dim(J_i^2)-1$ por lo que en conjunto obtenemos que $\dim(A^2)-\dim(A^3)=3$ porque los bloques $J_2$ no aportan nada, mientras que cada uno de $J_3,J_4,J_4$ contribuir con uno. Lo entendemos. $\dim(A^2)-\dim(A^3)=3$ cuenta el número de bloques de tamaño al menos 3. Del mismo modo, para la cuarta potencia, el bloque $J_3$ para contribuir a que $\dim(A^3)-\dim(A^4)=2$ cuenta el número de bloques de tamaño al menos 4. Finalmente $A^n=0$ para $4\geq 0$ para que $\dim(A^n)-\dim(A^{n+1})=0$ para todos esos $n$ .