Auxiliar de estadísticas:distribución Beta es libre de $\beta$?

Question

Yo estoy leyendo a Robert V. Hogg Introducción a la Estadística Matemática Versión 6 página 409, segundo párrafo.

$X_1, X_2$ es una muestra aleatoria de una Gamma $\text{G}(\alpha,\beta)$ la distribución del parámetro conocido $\alpha>0$ y el parámetro desconocido $\beta$. La relación de $$Z=\dfrac{X_1}{X_1+X_2}$$ has a Beta $\texto{B}(\alpha,\alpha)$ distribución de la que es libre de $\theta$. Por lo tanto, $Z$ es un auxiliar estadística.

Mi pregunta es: why $Z$ is free of $\beta$?

En el libro p155, los autores mostraron que el pdf de $Z$ es $$f(z)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}z^{\alpha-1}(1-z)^{\beta-1},\quad 0<z<1$$ O usted puede ref a este uno. Este es el pdf de la versión Beta $\text{B}(\alpha,\beta)$ de distribución, pero el $\beta$ o $\theta $ todavía está allí, ¿por qué $Z$ es libre de $\beta$?.

Answer 1

Hay un error tipográfico en dar el pdf de $Z$ o se confunde con la definición general de una Beta $\text{B}(\alpha,\beta)$ como debe ser un Beta $\text{B}(\alpha,\alpha)$ distribución. Por ejemplo, su vínculo se muestra por qué la relación de dos Gamma $\text{G}(\alpha_i,\beta)$ varia es una Beta $\text{B}(\alpha_1,\alpha_2)$ de la variable aleatoria. (Esta referencia puede ser confuso, ya que utiliza $\alpha$ $\beta$ en el opuesto de la forma estándar: $\alpha$ es la escala que hay!)

La razón por la $Z$ no depende de $\beta$ es que, cuando se $$X_1,X_2\sim\text{G}(\alpha,\beta)$$ $$Y_1=\beta X_1,Y_2=\beta X_2\sim\text{G}(\alpha,1)$$ since $\beta$ es un factor de escala. Por lo tanto $$Z=\dfrac{X_1}{X_1+X_2}=\dfrac{\beta X_1}{\beta X_1+\beta X_2}=\dfrac{Y_1}{Y_1+Y_2}$$ no depende de $\beta$.