$f:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$ es una función creciente con $\lim_{x\to -\infty}f=0$ ,$\lim_{x\to \infty}f=1$, y $\int_{R}f'=1$. Demostrar que $f$ es absolutamente continua en cada intervalo de $[a,b]$. Cualquier ayuda es muy apreciada.
Respuesta
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tooshel
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Debido a $f$ va en aumento, es diferenciable una.e., su derivada es medible, y $\int_a^b f'\leq f(b)-f(a)$ todos los $a<b$ (por ejemplo, ver Wheeden y Zygmund). Si $f$ no es absolutamente continua en cada intervalo acotado, entonces existe $a<b$ de manera tal que la desigualdad es estricta para esta $a$$b$, es decir, $\int_a^b f'<f(b)-f(a)$ (esto se desprende de la caracterización de la CA de las funciones como las integrales de sus derivados, como se ve por ejemplo en la Wikipedia). Deje $c=(f(b)-f(a)) - \int_a^b f' >0$.
Ahora usted puede demostrar que para todos los $M>\max\{|a|,|b|\}$, $\int\limits_{-M}^Mf'\leq 1-c$, por dividirlas en 3 partes y la aplicación de los resultados del párrafo anterior, junto con el hecho de que $0\leq f\leq 1$. Una vez que tenemos esto, la prueba por contraposición es casi completa.
