$(a+b) ^2=a+b$ en los anillos.

Question

Ok, así que mi profesor de matemáticas nos dijo que $\sqrt {(a+b)}=\sqrt a+\sqrt b $ para todos los reales, lo cual es claramente falso. Sin embargo, cuando se lo he dicho a otro profesor de matemáticas me dijo que esto era cierto para los campos de la característica 2. la sustitución de esa declaración por este que es más general $a^2+b^2=(a+b)^2$, lo Que yo interpreto como campos donde $a+a=0$ cualquier otro.

Mi nueva pregunta es para los anillos en general, en la que los anillos es que $a^2+b^2=(a+b)^2$ o en otras palabras en lo de los anillos es $ab=-ba$ todos los $a,b$?

Answer 1

Deje $A$ ser un unital anillo tal que $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ todos los $a, b \in A$. Esto es equivalente a $ab + ba = 0$ todos los $a, b \in A$. Establecimiento $b = 1_A$, se obtiene que el anillo es de carácter $2$. Ahora en el carácter $2$, $ab + ba = 0$ puede ser reescrita como $ab = ba$, lo que significa que el anillo es conmutativo.

Por el contrario, cualquier conmutativa unital anillo de la característica $2$ satisface su propiedad.

Se puede extender esta prueba para cualquier anillo de $A$ tal que para todos los $a\in A$ existe $e_A \in A$ tal que $a e_a = a e_a = a$. Como en el caso general, no tengo idea.

Answer 2

Si estamos trabajando en un anillo conmutativo $R$, $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ implica que el $4ab=0$. Si desea que esta última ecuación para celebrar todos los $a, b$, entonces usted necesita $4=0$