Me dan determinante $\begin{vmatrix} 1 & 2 &3 & \cdots & n -1 & n \\ 2 & 3 &4 & \cdots & n & 1 \\ 3 & 4 &5 & \cdots & 1 & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \end{vmatrix}$ and I have to calculate it's value only using Laplace formula and properties of antilinear $n$-formas.
En primer lugar, me restar $i-1$-ésima columna de a $i$-ésima columna, lo que me da
$\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 & \cdots & 1 & 1 \\ 2 & 1 &1 & \cdots & 1 & 1-n \\ 3 & 1 &1 & \cdots & 1 - n & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ n & 1-n & 1 & \cdots & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
Luego, restando $i-1$-ésima fila de a $i$-ésima fila de los rendimientos de nosotros
$\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 0 &0 & \cdots & 0 & -n \\ 1 & 0 &0 & \cdots & - n & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 1 & -n & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{vmatrix}$.
De nuevo, restando $i-1$-ésima columna de a $i$-ésima columna
$\begin{vmatrix} 1 & 1 &0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 &0 & \cdots & 0 & -n \\ 1 & 0 &0 & \cdots & - n & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 1 & -n & n & \cdots & 0 & 0 \end{vmatrix}$.
Los dos últimos pasos antes de utilizar la fórmula de Laplace está agregando $i-1$ $i$- ésima fila
$\begin{vmatrix} 1 & 1 &0 & \cdots & 0 & 0 \\ 2 & 1 &0 & \cdots & 0 & -n \\ 2 & 0 &0 & \cdots & - n & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 2 & -n & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{vmatrix}$
y usando las propiedades de la antilinear $n$-formulario de voltear determinante
$(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\begin{vmatrix} 0 & 0 &0 & \cdots & 1 & 1 \\ -n & 0 &0 & \cdots & 1 & 2 \\ 0 & -n &0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -n & 2 \end{vmatrix}$.
El paso Final es utilizando la fórmula de Laplace, en la 1ª hilera : $$(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\begin{vmatrix} 0 & 0 &0 & \cdots & 1 & 1 \\ -n & 0 &0 & \cdots & 1 & 2 \\ 0 & -n &0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -n & 2 \end{vmatrix} = (-1)^\frac{n(n-1)}{2}((-n)^{n-1} - 2(-n)^{n-2}) = (-1)^{\frac{n(n-1)^2}{2}}(n^{n-1} + 2n^{n - 2}).$$
Pero mi libro de texto establece que debe ser el resultado de $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot\frac{1}{2}(n^n + n^{n-1})$. ¿Qué estoy haciendo mal en mis cálculos?
