Encontrar todos los números reales $t$ de manera tal que la forma cuadrática $f$ es positiva definida.

Question

Donde $$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2+3x_3^2+2tx_1x_2+2x_1x_3$$.

Este es un problema en mi Análisis de la Matriz de la tarea. A continuación es el resultado de mi esfuerzo.

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Deje $x=(x_1,x_2,x_3)^T$, luego tenemos $$f=x^*Sx$$, in which $$S=\left(\begin{matrix}2&t&1\\t&1&0\\1&0&3\end{matrix}\right)$$. $f$ is positive definite is equivalent to $S$ is positive definite which is equivalent to all the eigenvalues of $S$ es positivo.

El polinomio característico de a$S$: $$\begin{align}|\lambda I-S|&=-\lambda^3+6\lambda^2+(3t^2-10)\lambda+(-3t^2+5)\\&=(-3+3\lambda)t^2+(-\lambda^3+6\lambda^2-10\lambda+5)\end{align}$$.

Ahora el único problema que queda es que ¿cómo puedo encontrar todos los posibles valores reales de $t$, que hace que este polinomio de $\lambda$ sólo ha positiva raíces?

Answer 1

Un equivalente de condición de una matriz a ser positivo definitivo es que el líder principal de los menores de la matriz son todas positivas. Esta condición es más fácil de comprobar: Usted sólo tiene que comprobar que $2>0$, $2-t^2>0$ y que $-3t^2+5>0$. Para más información ver las caracterizaciones de positiva definida matrices

Answer 2

Sugerencia: Si todas las raíces de $p(X)=-X^3+a X^2+bX+c$ son positivos entonces necesariamente $p(0)>0$ porque $p(x)\to+\infty$$x\to-\infty$. Para descartar la posibilidad de que las dos raíces son complejas, usted puede comprobar que $p'=-3X^2+2aX+b$ tiene dos raíces reales (es decir,$4a^2+12b>0$) y que $p(x)>0$ donde $x$ es la mayor de las raíces de la $p'(x)$.

Answer 3

Podemos resolver por escrito $x^tSx$ como una suma de cuadrados. Tenemos \begin{align} x^tSx&=(x_2+tx_1)^2-t^2x_1^2+2x_1^2+3x_3^2+2x_1x_3\\ &=(x_2+tx_1)^2+3\left(x_3^2+\frac 23x_1x_3\right)+(2-t^2)x_1^2\\ &=(x_2+tx_1)^2+3\left(x_3+\frac{x_1}3\right)^2-3\frac{x_1^2}9+(2-t^2)x_1^2\\ &=(x_2+tx_1)^2+3\left(x_3+\frac{x_1}3\right)^2+\left(\frac 53-t^2\right)x_1^2. \end{align}