Para la segunda parte,
supongamos que desea mostrar que
$\sum\limits_{k = 1}^n k^3 < c n^4
$
para algunos $c<1$.
Como base,
encontrar un $n$
de tal forma que éste tiene,
es decir, que
$\sum\limits_{k = 1}^n k^3 < c n^4
$.
Usted quiere que esto implica que
$\sum\limits_{k = 1}^{n+1} k^3 < c (n+1)^4
$,
y esto será cierto si
$(n+1)^3 < c((n+1)^4-n^4)
$.
Para ver por qué esto es cierto,
supongamos que
$\sum\limits_{k = 1}^n k^3 < c n^4
$
y
$(n+1)^3 < c((n+1)^4-n^4)
$.
La adición de estas desigualdades,
tenemos
$\sum\limits_{k = 1}^{n+1} k^3 < c (n+1)^4
$,
que es lo que queremos.
Así, queremos encontrar una $c$ tal que
$(n+1)^3 < c((n+1)^4-n^4)
$.
En estos tipos de desigualdades,
el valor de $c$
depende generalmente de la
valor de $n$,
con los valores mayores de
proporcionar la
mejor los valores de $c$.
Para la inducción al trabajo,
necesitamos un valor de $r$
tal que
$(n+1)^4-n^4
> r (n+1)^3
$,
así que
$(n+1)^3 < (1/r)((n+1)^4-n^4)$
Voy a demostrar que
cualquier $r < 4$ va a trabajar.
Ahora voy a conseguir una simple límite inferior
para
$(n+1)^4-n^4
$
que va a ser verdad para
$n \ge 2$.
Esta no será la mejor obligado,
pero se verá que,
para cualquier $r < 4$,
para $n$ lo suficientemente grande
tenemos
$(n+1)^4-n^4
< r (n+1)^3
$.
Desde
$(n+1)^3 = n^3+3n^2+3n+1$,
$\begin{align}
(n+1)^4-n^4
&=4n^3+6n^2+4n+1\\
&=4(n^3+(3/2)n^2+n+1/4)\\
&=4(n^3+3n^2+3n+1-(3/2)n^2-2n-(3/4))\\
&=4((n+1)^3-(3/2)(n^2+(4/3)n+(1/2))\\
&=4(n+1)^3(1-(3/2)\frac{n^2+(4/3)n+(1/2)}{(n+1)^3})\\
&>4(n+1)^3(1-(3/2)\frac{n^2+2n+1}{(n+1)^3})\\
&=4n^3(1-\frac{3}{2(n+1)})\\
\end{align}
$
Por lo tanto, si
$r < 4$
y
$4(1-\frac{3}{2(n+1)})
> r
$
(que es el mismo que
$\frac{3}{2(n+1)} < 4-r$
o
$n > \frac{3}{2(4-r)}-1$),
$(n+1)^4-n^4 > r (n+1)^3$.
Por ejemplo,
el uso de $r = 3$,
si $n > \frac{3}{2}-1 = \frac12$
(es decir, para todos los $n$),
$(n+1)^4-n^4 > 3 (n+1)^3$.
La reescritura de esta desigualdad
en el formulario
$(n+1)^3
< \frac{(n+1)^4-n^4}{3}
$,
o, más generalmente,
para cualquier $r < 4$,
$(n+1)^3
< \frac{(n+1)^4-n^4}{r}
$
para
$n > \frac{3}{2(4-r)}-1$.
Supongamos,
para algunos $0 < c < 1$,
hemos encontrado una $n$
tal que
$\sum\limits_{k = 1}^n k^3 < c n^4
$.
La adición de la desigualdad a la que hemos sido justo,
si $rc \ge 1$,
entonces
$\begin{align}
\sum\limits_{k = 1}^{n+1} k^3
&< c n^4+\frac{(n+1)^4-n^4}{r}\\
&= c( n^4+\frac{(n+1)^4-n^4}{rc})\\
&\le c( n^4+((n+1)^4-n^4))\\
&= c(n+1)^4\\
\end{align}
$.
Por tanto, hemos de mostrar el siguiente:
Real $r$ $c$
tal que
$r < 4$ $rc \ge 1$,
si hay un $n$
tal que
$n > \frac{3}{2(4-r)}-1$
y
$\sum\limits_{k = 1}^n k^3 < c n^4
$,
entonces
$\sum\limits_{k = 1}^n k^3 < c n^4
$
para todos los mayores $n$.
Para el caso de $r=3$
se mencionó anteriormente,
esto se convierte en:
Para cualquier real $c$
tal que
$c \ge 1/3$,
si hay un $n$
tal que
$\sum\limits_{k = 1}^n k^3 < c n^4
$,
entonces
$\sum\limits_{k = 1}^n k^3 < c n^4
$
para todos los mayores $n$.
Aquí están los valores iniciales de
$(n, \sum\limits_{k = 1}^n k^3, n^4)$:
$(1, 1, 1), (2, 9, 16)
(3, 36, 81), (4, 80, 256)$.
Desde $3\cdot 80 < 256$,
$n=4$ obras.
Así,
para $n \ge 4$,
$\sum\limits_{k = 1}^n k^3
< \dfrac{n^4}{3}
$.
