Un problema sobre los polinomios

Question

No tengo ni idea de este problema:

Deje que $P,Q \in \mathbb C[X]$ ser polinomios con grado $ \geq 1$

Supongamos que $P$ y $Q$ tienen el mismo conjunto de raíces.

Supongamos también que $P-1$ y $Q-1$ tienen el mismo conjunto de raíces.

Demuestra que $P=Q$

Realmente no sé cómo vincular las multiplicidades de raíces entre los diversos polinomios en juego.

Cualquier indicio es apreciado.

Answer 1

Supongamos que $S$ es el conjunto de raíces de $P$ y que $R$ es el conjunto de raíces de $P-1$ . Tenemos

$$ P(X)=a \prod_ {s \in S}(X-s)^{n_s}, \quad Q(X)=b \prod_ {s \in S}(X-s)^{m_s} $$ y $$ P(X)-1=a \prod_ {r \in R}(X-r)^{n'_r}, \quad Q(X)-1=b \prod_ {r \in R}(X-r)^{m'_r} $$ Ahora, claramente $S \cap R= \emptyset $ y cada $s \in S$ es una raíz de la multiplicidad $n_s-1$ de $P'$ y cada $r \in R$ es también una raíz de la multiplicidad $n'_r-1$ de $P'$ . Esto implica que $$ \eqalign { \deg P-1&= \deg P' \geq \sum_ {s \in S}(n_s-1)+ \sum_ {r \in R}(n'_r-1) \cr & \geq \deg P-|S|+ \deg P-|R| } $$ o equivalente $$ \deg P< |S|+|R|. $$ De manera similar, tenemos $$ \deg Q< |S|+|R|. $$ Pero entonces, si $T=P-Q$ Entonces $T$ tiene un grado menor que $|S|+|R|$ y tiene $|S|+|R|$ raíces, a saber, los elementos de $R \cup S$ . Así que.., $T$ tiene que ser el polinomio cero. $ \qquad\square $