Encontrar la solución general de la ecuación diferencial $\,\,y''+y=f(x)$

Question

Estoy atascado con el siguiente problema:

Tengo que mostrar que la solución general de la ecuación diferencial $$y''+y=f(x)\,\, ,x \in (-\infty,\infty)$$, where $f$ is continuous real valued function on $(-\infty,\infty)$ is $$y(x)=A \cos x+B \sin x + \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \sin (x-t) dt\,\, $$ where $a,B$ son constantes.

C. F. parte de la reducción del diferencial de la ecuación de $y''+y=0$: $A \cos x+B \sin x$. Pero estoy teniendo problemas para obtener la P. I.(integral) que puede obtenerse mediante la resolución de $$\frac {1}{D^2+1} f(x)$$,where $D \equiv \frac {d}{dx}$. Esto es donde estoy atascado.

Voy en la dirección correcta? Alguien puede ayudarme?

Gracias y saludos a todos.

Answer 1

Recordando la transformada de Laplace de una función de $f$

$$ F(s) = \int_{0}^{\infty}f(x)\,e^{-sx}dx $$

Tomando la transformada de Laplace de la educación a distancia

$$ y''+y=f(x) $$

los rendimientos

$$ s^2Y(s)+Y(s)-s \,y(0)-y'(0)=F(s) $$

$$ \implies Y(s)=\frac{y'(0)}{s^2+1}+\frac{y(0)s}{s^2+1}+\frac{F(s)}{s^2+1} $$

Ahora, tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior para obtener

$$ y(x) = A\sin(x)+B\cos(x)+ \int_{0}^{x} \sin(x-t)f(t)dt. $$

Notas:

1) $$ \mathcal{L}\,y^{(n)}(x) = s^n F(s) - \sum_{k=1}^{n} s^{k-1} f^{(n-k)}(0). $$

2) $$\mathcal{L} (\sin(x))=\frac{1}{s^2+1},\quad \mathcal{L} (\cos(x))=\frac{s}{s^2+1}$$

3) $$ \mathcal{L}^{-1}(F(s)G(s))=(f*g)(x). $$