Respuesta
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Como se sospechaba, la afirmación ES falsa: si $\lim_{n\to\infty}a_n=0$,$|a_n-1|\stackrel{n\to\infty}{\to} 1$. Por lo tanto, para cada una de las $\epsilon>0$ hay un $N\in\mathbb{N}$$|a_N-1|\geq 1-\epsilon$, de modo que (vamos a $d$ el valor de la métrica en la $\ell^\infty$ inducida por el familiar supremum-norma - me tácitamente se supone que tiene esta norma en la mente) $$d((a_n)_{n\in\mathbb{N}},(1)_{n\in\mathbb{N}})=\sup_{n\in\mathbb{N}}|a_n-1|\geq 1-\epsilon.$$ We conclude $d((a_n)_{n\in\mathbb{N}},(1)_{n\in\mathbb{N}})\geq 1$, hence $dist(c_0,(1)_{n\in\mathbb{N}})\geq 1$. Taking $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=(0)_{n\in\mathbb{N}}$, we see that actually $dist(c_0,(1)_{n\in\mathbb{N}})=1$. Now, we can think of any number of sequences $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\en c_0$ with $d((a_n)_{n\in\mathbb{N}},(1)_{n\in\mathbb{N}})=1$, por ejemplo, tomar la secuencia de ceros con un número finito de ceros reemplazadas por otras.
NOTA: para cerrado convexo subconjuntos $C$ de los espacios de Hilbert y un vector $x$ en el complemento de $C$, es cierto que no hay un único vector en $C$, lo que minimiza la distancia entre el$x$$C$. Así que tu pregunta se desarrolla un ejemplo en el que los espacios de Banach no son suficientes (por lo que recuerdo, el paralelogramo de la regla del producto interior juega un papel vital en la prueba).
