Tengo el siguiente resultado, pero sin una prueba:
$$ g_n = \frac{1}{1-2^{-n}} = (1+2^{-n})(1+2^{-2n})(1+2^{-4n})\cdots = \prod_{j=0}^{\infty}(1+2^{-2^jn}), $$
Para demostrar que el resultado es correcto he definido la secuencia
$$ a_k(n) = \prod_{j=0}^k(1+2^{-2^jn}) = a_{k-1}(n)(1+2^{-2^kn}) \Rightarrow \\a_k(n) = a_{k-1}(n)(1+2^{-2^kn}) $$
Así que mi intento era mostrar que $g_n$ la solución de la secuencia anterior, cuando $k$ diverge.
Esto equivale a demostrar que $a_k(n) \sim g_n$ . Pero me he atascado y no sé qué hacer ahora... También estoy bastante seguro de que hay una solución más fácil que la que propongo.
Actualización:
Tenía otra pista... dado que
$$ g_n = \sum_{j=0}^{+\infty} (2^{-n})^j = lim_{k\rightarrow +\infty} \sum_{j=0}^{2^k-1} (2^{-n})^j = lim_{k\rightarrow +\infty} S_k $$
Observo que
$$ S_k = \sum_{j=0}^{2^k-1} (2^{-n})^j = \sum_{j=0}^{2^{k-1}-1} (2^{-n})^j + \sum_{j=2^{k-1}}^{2^k-1} (2^{-n})^j = \\ \sum_{j=0}^{2^{k-1}-1} (2^{-n})^j + 2^{-2^{k-1}n} \sum_{j=0}^{2^{k-1}-1} (2^{-n})^j = (1+ 2^{-2^{k-1}n})\sum_{j=0}^{2^{k-1}-1} (2^{-n})^j = (1+ 2^{-2^{k-1}n})S_{k-1} $$
Así que termino con una secuencia:
$S_k = S_{k-1}(1+ 2^{-2^{k-1}n}) \;,\; S_k \rightarrow \frac{1}{1-2^{-n}}$ ,
¿Es esto correcto? (Perdón por mi notación)
