División binomial

Question

Parece muy fácil, pero no puedo hacerlo:

$s \geq 2$ y$w \geq 2$ son números primos. $k$ es un número natural y$k \leq \min \{s,w \}$

Demuestre que$\binom{s+w}{k}-\binom{w}{k} - \binom{s}{k}$ puede dividirse por$sw$.

Answer 1

Como Zev menciona, necesitamos algunos límites en $k$. Tenemos su declaración de la $0\leq k\leq \min(s,w)$. Aquí voy a probarlo para $1\leq k\leq \min(s-1,w-1)$. (El resto de los casos no son muy diferentes) El objetivo es mirar su expresión modulo $s$ y el modulo $w$, y mostrar que es $0$ en ambos casos.

Prueba: la Expansión de los binomios tenemos $$\frac{(s+w)(s+w-1)\cdots(s+w-k+1)}{k!}-\frac{s(s-1)\cdots (s-k+1)}{k!}-\frac{w(w-1)\cdots(w-k+1)}{k!}.$$ Then since $s,w$ are primes, $k!$ is invertible, so that modulo $s$ esta es

$$\equiv \frac{(w)(w-1)\cdots(w-k+1)}{k!}-\frac{w(w-1)\cdots(w-k+1)}{k!}\equiv 0\pmod{s}.$$

Asimismo, para $w$. De ahí la expresión original es divisible por tanto $s$$w$.

Elaboración: Porque $1\leq k<s$, $k!$ será relativamente primer a$s$, de modo que la división por $k!$ "sentido". Entonces podemos escribir $\frac{1}{k!}\equiv a \pmod{s}$ para algunos entero $a$. El uso de este, el término $$\frac{s(s-1)\cdots (s-k+1)}{k!}\equiv as(s-1)\cdots (s-k+1),$$ and must be divisible by $s$. The fraction $$\frac{(s+w)(s+w-1)\cdots(s+w-k+1)}{k!}\equiv a(s+w)(s+w-1)\cdots(s+w-k+1)$$ $$\equiv a(w)(w-1)\cdots(w-k+1)\pmod{s}$$ since each $s$ es equivalente a cero.

Answer 2

SUGERENCIA $\ $ Escala por$\rm\:k!\:$ luego use$\rm\ f(0) = 0\ \Rightarrow\ x\:y\ |\ f(x+y) - f(x) - f(y)\:$ para$\rm\:f(x)\in \mathbb Z[x]\:.$

Su problema es que el caso especial es$\rm\ f(x) = x\ (x-1)\:\cdots\:(x-k+1)\:,\ \ x = s,\ y = w\:.$