Aproximación asintótica para la función hipergeométrica confluente

Question

Tengo el siguiente desagradable expresión que me gustaría ampliar en potencias de $\frac{1}{N}$:

$$\begin{align} \frac{2^{\frac{3}{2}} 3^{\frac{1}{2}} \Biggl[ \sqrt{u} \cdot \Gamma\left(\frac{2+N}{4}\right) \cdot {}_1F_1 \left( \frac{2+N}{4},\frac{1}{2},\frac{3r^2}{2u} \right) -\sqrt{6} r \cdot \Gamma \left( \frac{4+N}{4} \right) \cdot {}_1F_1 \left( \frac{4+N}{4},\frac{3}{2},\frac{3r^2}{2u} \right) \Biggr] }{N \cdot u^{\frac{1}{2}} \Biggl[ \sqrt{u} \cdot \Gamma\left(\frac{N}{4}\right) \cdot {}_1F_1 \left( \frac{N}{4},\frac{1}{2},\frac{3r^2}{2u} \right) -\sqrt{6} r \cdot \Gamma \left( \frac{2+N}{4} \right) \cdot {}_1F_1 \left( \frac{2+N}{4},\frac{3}{2},\frac{3r^2}{2u} \right) \Biggr]} \end{align}$$

donde se puede suponer que la $N \in \mathbb{N}$ (pero podría ser analíticamente continuó $\mathbb{R}^+$), $u \in \mathbb{R}^+$, y $r \in \mathbb{R}^+$. Además, ${}_1F_1$ es la función hipergeométrica confluente a veces escrito como $M(a,b,z)$.

El uso de una ruta diferente que he obtenido un valor para el límite de $N \to \infty$, pero me gustaría a) reproducir este resultado usando la expresión anterior y b) encontrar la $O\left(\frac{1}{N}\right)$ correcciones. Hasta ahora he intentado numerosas identidades desde el NIST Manual de Funciones Matemáticas, pero simplemente me parece que carecen de la experiencia para lograr un progreso real. Si alguien sabe una solución o tiene una idea de cómo proceder, yo le agradeceria mucho su ayuda.

Con saludos cordiales,

Jan

Answer 1

Tal vez no una gran ayuda: ${}_1F_1((2+N)/4,3/2,3r^2/2u)$ queremos multicelular de ${}_1F_1(1/2+x,3/2,a)$ $x \to 0$. Con la serie, me sale $$ {} _1F1\left(\frac{1}{2}+x,\frac{3}{2},a\right) = \mathrm{erf \frac{\sqrt{\pi}} (\sqrt{a})}{2 \sqrt{-a}} + \sum{k = 0} ^ {\infty} \frac{\Bigl (\Psi \Bigl(\frac{1}{2} + k\Bigr) + \gamma + 2 \operatorname{ln} \Bigr (2)) una ^ {k}} {k (1 + 2 k)!} x + \operatorname{O} \bigl(x^{2}\bigr) $$