Estos son en realidad 4 pregunta acerca de una prueba dada en este documento. Cualquier sugerencia de soluciones para cualquiera de estas preguntas sería muy apreciada!
Lema 1. Suponga $v$ es una solución de la ecuación \begin{equation} ic \partial_1 v + \Delta v + v(1-\vert v \vert^2) =0 \tag{GP} \end{equation} en $L^1_{loc}(\mathbb{R}^3)$ de energía finita, a continuación, $v$ es regular, limitada y su gradiente pertenece a todos los espacios de $W^{k,p}(\mathbb{R}^3)$$k \in \mathbb{3}$$p \in [2,\infty]$.
Aquí "finito de energía", ello significa que \begin{equation} \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^N}\vert \nabla v \vert^2+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^N}(1-\vert v \vert^2)^2 < \infty. \end{equation}
Prueba. Los autores consideran un punto de $z_0 \in \mathbb{R}^3$ y denotan por $\Omega$ la unidad de la bola con el centro $z_0$. A continuación, el considerar las soluciones de $v_1$ $v_2$ \begin{equation} \begin{cases} \Delta v_1=0 & \mbox{on } \Omega \\ v_1 = v & \mbox{on } \partial \Omega\end {casos} \etiqueta{1} \end{equation} y \begin{equation} \begin{cases} \Delta v_2=g(v):=v(1-\vert v\vert^2) + ic \partial_1 v & \mbox{on } \Omega \\ v_2 = 0 & \mbox{on } \partial \Omega\end{casos} \etiqueta{2} \end{equation}
Pregunta 1. Pareciera que extraño a considerar $v \in L^1_{loc}(\mathbb{R}^3)$. Una función en este espacio, ni siquiera puede ser una solución débil de (GP), se puede? También la ecuación (1) no necesita tener una solución si $v$ solo $L^1$, no?
Los autores muestran que $g(v)$ es uniformemente acotada en $L^{\frac{4}{3}}(\Omega)$, es decir, $\Vert g(v) \Vert_{L^{\frac{4}{3}}(\Omega)}$ está delimitado por una constante no dependiendo $z_0$. El inferir que $v_1$ es unformly delimitada en $L^4(\Omega)$$v_2$$W^{2,\frac{4}{3}}(\Omega)$. Yo ya entiendo esta parte (algunos elíptica argumentos y Sobolev incrustaciones).
Pero ahora se denotan por $\omega$ la bola con el centro $z_0$ y radio de $\frac{1}{2}$ y me dicen que el uso de Cacioppoli desigualdades para mostrar que $v_1$ es uniformemente acotada en $W^{2,\frac{4}{3}}(\omega)$$W^{3,\frac{12}{11}}(\omega)$. Esto demostraría que el $v$ es uniformemente acotada en $W^{2,\frac{4}{3}}(\Omega)$.
Pregunta 2. ¿Cómo hacer eso? Por Caccioppoli desigualdades para la ecuación de Laplace puedo mostrar que $\Vert Dv_1 \Vert_{L^2(\omega)} \Vert \leq C \Vert v_1 \Vert_{L^2(\omega)}$ pero nada más. ¿Cómo hacen esto? Por qué se necesitan incluso la segunda declaración (es decir,$W^{3,\frac{12}{11}}$)?
Ellos van y calcular \begin{equation} \nabla g(v) = \nabla v(1-\vert v\vert^2) - 2 (v.\nabla v)v + ic \partial_1 \nabla v \end{equation} que es fácil. Pero a partir de esto se infiere que la $g(v)$ es uniformemente acotada en $L^\frac{12}{11}(\omega)$ y, finalmente, $v$ es uniformemente acotada en $C^{0,\frac{1}{12}}(\omega)$.
Pregunta 3. Yo no entiendo nada de estos pasos. El primer intento de estimar la $\int \vert \nabla v - \nabla v \vert v \vert^2 \vert^\frac{12}{11} \leq \int \vert \nabla v \vert^\frac{12}{11} + \int \vert \nabla v \vert^\frac{12}{11} \vert v \vert^\frac{24}{11}$ que yo no pueda manejar. Para el segundo, no entiendo por qué se elige el $\frac{1}{12}$-Hölder espacio de todos Hölder espacios.
Por último, pero no menos que de conjunto \begin{equation} h(w)=w(1-\vert v \vert^2) - 2 (v.w)v + \left(\frac{c^2}{2}+2\right)w \end{equation} donde: $w=\nabla v$ y el estado que $h(w)$ pertenece a $L^2(\mathbb{R}^N)$$w$$H^2(\mathbb{R}^N)$.
Pregunta 4. ¿Por qué es $\nabla v$ incluso diferenciable suficiente para ser enchufado en $h$? ¿Cómo infieren sus dos resultados? No tengo absolutamente ninguna idea.
Muchas gracias de antemano!
