¿Existe una función continua y derivable que no sea suave?

Question

Según entiendo, una función suave es diferenciable de forma continua.

Pero si tengo una función que es continua Y diferenciable, no puedo decir automáticamente que sea suave. Ya que tiene que serlo para todas sus diferenciales.

Por lo tanto, me pregunto, ¿qué función sería continua y diferenciable, pero no continuamente diferenciable?

No puedo encontrar la respuesta por mí mismo, ya que no entiendo claramente la diferencia entre continua Y diferenciable, y continuamente diferenciable....

Contexto: Pregunto esto por un concurso de longitud de arco. La función tiene que ser continua y diferenciable en [0,1]. Pero, ¿esto significa automáticamente que siempre puedo usar la fórmula para la longitud de arco, que tiene la condición de que la función sea suave... (o, en otro libro, que tenga una derivada continua)?

Answer 1

Decimos que $f$ es una función de clase $C^k$ si tiene $k$ derivadas continuas. Quieres encontrar una función diferenciable que no sea $C^1$, es decir, una función diferenciable con derivada discontinua. Dado $k \in \Bbb Z_{> 0}$, la función $$f(x) = \begin{cases} x^k\sin(1/x), & \text{si } x \neq 0 \\ 0, & \text{si }x=0\end{cases}$$ es $C^{k-1}$ pero no $C^k$.

Answer 2

EDICIÓN: hay cierta confusión sobre lo que se está preguntando aquí. Estoy respondiendo "¿Existe una función continua y diferenciable que no sea suave?" (mencionada en el título y la pregunta), pero veo que también se pregunta "¿Qué función sería continua y diferenciable, pero no continuamente diferenciable?" Para esta segunda pregunta, recomiendo ver el comentario de @Ian abajo.

Un buen ejemplo es

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 & : x \geq 0 \\ 0 & : x < 0 \end{cases} $$

Puedes verificar que el límite derecho tanto de la función como de la primera derivada es $0$, pero la segunda derivada es discontinua.

De manera similar, $$ f(x) = \begin{cases} x^n & : x \geq 0 \\ 0 & : x < 0 \end{cases} $$

proporciona un ejemplo donde la función y las primeras $n-1$ derivadas son continuas, pero la $n$-ésima derivada no lo es.