Una pregunta sobre la estructura topológica de campos p-adic

Question

Este ejercicio en la Teoría Algebraica de números escritos por Jürgen Neukirch. Es en el capítulo $2$ sección $5$. La pregunta es la siguiente:

Para un $\mathfrak{p}$-ádico campo de número de $K$, cada subgrupo finito de índice en $K^*$ es a la vez abierto y cerrado.

Aquí es lo que yo pensaba:

Creo que podemos utilizar la proposición $(5.7)$ en la página $140$, si se denota el subgrupo como $G$, entonces no es un subgrupo correspondiente a $G$ en $$\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/(q-1)\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p^\alpha\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_p^d$$ with finite index too, as $Z$, $Z/(p-1)Z$, and $Z/p^\alpha Z$ have discrete topology, and the only subgroups with finite index of $Z_p$ are of the form $p^n Z_p$ for some integer n, which is both open and closed in $Z_p$, así que creo que podemos utilizar estos datos para resolver esta cuestión. No estoy seguro de si esto es correcto, así que espero que podamos discutir y aprender más. Gracias por ver y responder.

Aquí es la proposición $(5.7)$ en la página $140$ en la Teoría Algebraica de números escritos por Jürgen Neukirch:

$(5.7)$ Propuesta: Vamos a $K$ ser un campo local y $q = p^f$ el número de elementos en el residuo de campo de la clase. A continuación, el siguiente sostenga.

(i) Si $K$ tiene características de las $0$, entonces uno tiene (tanto en forma algebraica y topológicamente) $$K^*\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/(q-1)\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p^\alpha\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_p^d$$ $\qquad$ donde $a>=0$ y $d$=[$K$:$Q_p$].

(ii) Si K tiene la característica p, entonces uno tiene (tanto en forma algebraica y topológicamente) $$ K^*\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/(q-1)\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_p^N $$

En realidad mi idea básica es analizar la misma estructura topológica problema en un homeomorphism pero más fácil algebraica de grupo como $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/(q-1)\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p^\alpha\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_p^d$ o $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/(q-1)\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_p^N $. Y sabemos $Z$, $Z/(q-1)Z$ y $Z/p^\alpha Z$ todos han discretos de la topología y de sus subgrupos son abiertos y cerrados, ya que el cociente grupo es discreto. A $Z_p$, su único subgrupo de índice finito es de la forma $p^nZ_p$ algunos $n$, y de este subgrupo es a la vez abierto y cerrado en $Z_p$, por lo que cada subgrupo finito índice de $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/(q-1)\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p^\alpha\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_p^d$ o $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/(q-1)\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_p^N $ es a la vez abierto y cerrado. Así que cada subgrupo finito índice de $K^*$ es a la vez abierto y cerrado.

Answer 1

Aquí hay un par de sugerencias. Dado que el grupo es finito índice debe contener algunos $K^{*n}$ algunos $n$, por lo que es suficiente para mostrar que $K^{*n}$ está abierto para todos los $n.$ Para hacer esto basta para mostrar que $K^{*n}$ contiene algunos de vecindad de la identidad o, equivalentemente, que contiene $U^{(m)} = 1+\mathfrak{p}^m$ algunos $m.$ Mi última sugerencia sobre cómo hacer esto es utilizar un registro y exp. Hay otras maneras pero esta es una gran aplicación de estas funciones.

Si usted todavía tiene problemas me pueden enviar una respuesta más detallada.

EDITADO:

Aquí hay algo más de detalle. Nota que escribí esto hace un tiempo para una tarea así que pido disculpas por los errores.

Por lo suficientemente grande $m$ nos tenga en cuenta que $U^{(m)} \cong \mathfrak{p}^m$ por la mutuamente inversas homeomorphisms (y isomorphisms), $\exp $$\log.$, En particular, elija $m$ lo suficientemente grande como para que este isomorfismo es cierto para $U^{(m - v_p(n))}.$, Entonces si $\alpha \in U^{(m)},$ $\log \alpha \in \mathfrak{p}^{m}$ y $\frac{\log \alpha}{n} \in \mathfrak{p}^{m - v_p(n)}.$ Pero, a continuación, $\exp(\frac{\log \alpha}{n}) \in U^{(m - v_p(n))}$ y, además, $\exp(\frac{\log \alpha}{n})^n = \exp(\log(\alpha)) = \alpha.$ $\exp(\frac{\log \alpha}{n})$ es una $n$-ésima raíz de $\alpha$ $\alpha \in K^{\ast n}.$ Desde $\alpha$ fue arbrirtary esto muestra que $U^{(m)}\subset K^{\ast n}$, por lo que se hacen.