Momento factorial de la distribución geométrica.

Question

Estoy tratando de caclulate el Factorial Momento de la Distribución Geométrica #2 con el parámetro $p$. Por lo tanto, establecer $\Omega = \mathbb{N}_0$, utilizando el símbolo de pochhammer y establecimiento $q=1-q$ que

$$E((k)_l)= \sum _{k=0}^{\infty } (k)_l p q^k = p^{-l} q \cdot l! \sum _{k=0}^{\infty } (\frac{(k+l-1)!}{(k-1)! \cdot l!}\cdot p^{l+1} q^{k-1}) $$

Now Mathematica tells me that $\suma de _{k=0}^{\infty } (\frac{(k+l-1)!}{(k-1)! \cdot l!}\cdot p^{l+1} p^{k-1})=1$, but I cannot see why this identity is true. Also when using

FactorialMoment[GeometricDistribution[p], l]

Mathematica suggests that $E (k)_l)=(\frac{q}{p})^l l!$. Gracias de Antemano por su ayuda.

Answer 1

Deje $X$ tiene distribución geométrica, donde $X$ es el número de fracasos antes del primer éxito.

El enfoque más sencillo para el factorial momentos en este caso es encontrar el factorial momento de generación de función, que es $$E(t^X)$$ Supongamos que la probabilidad de éxito es $p$. Queremos $$\sum_{n=0}^\infty pq^n t^n$$ donde como de costumbre,$q=1-p$. Así que queremos $$\sum_{n=0}^\infty p(qt)^n$$ La suma de esta serie geométrica infinita. Tenemos $$\frac{p}{1-qt}$$ Para encontrar el $k$-th factorial momento, encontrar el $k$-ésima derivada de la factorial momento de generación de la función (con respecto a $t$)$t=1$. En nuestro caso particular, la búsqueda de la $k$-ésima derivada es fácil.

Si por distribución geométrica que significa que el número total de pruebas hasta el primer éxito (de modo que los valores son $1$, $2$, y así sucesivamente) una pequeña modificación del cálculo anterior se le dará la respuesta.

Adenda: La forma más fácil de encontrar la suma $$\sum_{k=1}^\infty (k)(k-1)\cdots(n-\ell+1)x^k$$ que se le preguntó acerca de es expresar esto $$x^{\ell}\sum_{k=1}^\infty (k)(k-1)\cdots(n-\ell+1)x^{k-\ell}$$ y observar que $$(k)(k-1)\cdots(n-\ell+1)x^{k-\ell}$$ es el $\ell$-ésima derivada de $x^k$. De modo que la suma deseada es la $\ell$-ésima derivada de $1+x+x^2+ x^3+\cdots$, es decir, de $1/(1-x)$.

Answer 2

Los momentos factoriales de una variable aleatoria de valor entero$X$ están vinculados a las derivadas sucesivas de la función generadora$g_X$ de$X$, definido por $$ g_X (s) = E (s ^ X ) = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} P (X = n) s ^ n. $$ Para cada$k\ge0$, el$k$ th derivado es $$ g_X ^ {(k)} (s) = E ((X) _ks ^ {Xk}), $$ por lo tanto, el valor en $s=1$ produce el momento factorial.

Ahora, ¿qué es$g_X$ para$X$ geométrico?