¿Equivalente de sumar a un denominador?

Question

Dada la desigualdad$\frac{n}{m} \ge \frac{1}{2}$, quiero agregar$1$ a ambos$n$ y$m$:$$\frac{n+1}{m+1}.$ $

¿Cuál sería la operación equivalente en el RHS de la ecuación?

Agregar$1$ a$n$ es equivalente a$+\frac{1}{m}$ en ambos lados, pero ¿qué hay de agregar$1$ a$m$?

Answer 1

Creo que esto debería hacerlo:

$$ \begin{align}\frac nm&\ge a\\ n&\ge am+a-a\\ n&\ge a(m+1)-a\\ \frac n{m+1}&\ge a-\frac a{m+1}\\ \frac{n+1}{m+1}&\ge a+\frac{1-a}{m+1} \end {align} $$

Answer 2

Sugerencia 1 $$\frac{n}{m}=\frac{n+1}{m+1}+\left(\frac{n}{m}-\frac{n+1}{m+1}\right)$ $ y$$ a \leq b+c \iff a-b \leq c $ $ Sugerencia 2 $$\frac{n}{m}=\frac{n+1}{m+1}\cdot\left(\frac{n}{m}\cdot\frac{m+1}{n+1}\right)$ $ y,$$ a \leq b\cdot c \iff \frac{a}{b} \leq c \qquad \text{ if }\ b>0 \\ a \leq b\cdot c \iff \frac{a}{b} \geq c \qquad \text{ if }\ b<0 $ $