Dificultad para encontrar $A^k$

Question

Let A $= \begin{bmatrix} 1& -1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$. Compute $^k$.

Mi intento

Estoy tratando de calcular $A^k$ el uso de este enfoque de la siguiente manera: $$ A=I+N= \begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0& -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} $$ con $$ N^2= \begin{bmatrix} 0& 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}, \, \text{y} \, \, N^3= \begin{bmatrix} 0& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} $$

A continuación, $$ A^2=(I+N)^2=I+2N+N^2, \\ A^3=(I+N)^3=I+3N+3N^2, \\ A^4=(I+N)^4=I+4N+6N^2, \\ A^5=(I+N)^5=I+5N+10N^2, \\ A^6=(I+N)^5=I+6N+15N^2, $$

Por inducción, podemos ver $A^k=(I+N)^k=I+kN+f[k]N^2$. Pero, yo no podía entender lo $f[k]$ es. Alguna ayuda?

Answer 1

Usted ha escrito $A=I+N$, y sabes que $N^3$ (y por lo tanto, todos los poderes superiores) son cero. Si $X$ e $Y$ son dos matrices que conmutan con otros, entonces usted todavía puede usar el bionomial teorema: $$(X+Y)^n=\sum_{i+j=n}\binom{n}{i} X^i Y^j$$

Debido a $I$ viajes con $N$, y debido a que todos los poderes superiores de $N$ desaparecen, podemos aplicar la fórmula para obtener

$$(I+N)^n=\sum_{i+j=n}\binom{n}{j} N^j=I+nN+\binom{n}{2}N^2$$

Answer 2

Cómo sobre esto. Tomar la función exponencial $e^{tA}$, donde $t$ es algún parámetro $$e^{tA}=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^kA^k}{k!}=e^{t(I+N)}= e^{tI}e^{tN}=e^t\left[I+tN+\frac{(tN)^2}{2}\right]$$ donde hemos utilizado la matriz identidad de $e^{A+B}=e^Ae^B$ que es válida cuando matrices de $A$ e $B$viaje. Dado que las funciones $t^k$ son linealmente independientes, obtenemos $$A^k=I+kN+\frac{k(k-1)}{2}N^2$$