Caracterización de $T \in L(V)$ si $\dim V = 2$ y $T^2 = {\rm Id}_V$.

Question

$V$ Es un espacio del vector $\mathbb{K}-$ $\dim V = 2$ y que $T \in L(V)$ tal que $T^2 = {\rm Id}_V$. Debo demostrar que sea $T = \pm {\rm Id}V$ o $$[T]{\cal B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0& - 1\end{bmatrix}$$in some basis ${\cal B} $.

Si $T \neq \pm {\rm Id}_V$, tomamos $v,u \in V$ $v \neq -Tv$ y $u \neq Tu$. Así que si $\tilde{v} = v+Tv$ y $\tilde{u} = u - Tu$, entonces el ${\cal B} = (\tilde{v},\tilde{u})$ ajusta a la ley.

Estoy teniendo problemas para comprobar que esto es linealmente independiente para terminar el ejercicio. Si $a,b \in \Bbb K$ es tales que $a\tilde{v}+b\tilde{u} = 0$, $T$ la aplicación da $a\tilde{v}-b\tilde{u} = 0$ y así $2a=2b = 0$. Si ${\rm char}(\Bbb K) \neq 2$, hecha. Si ${\rm char}(\Bbb K) = 2$ no estoy seguro de qué hacer. ¿Ayuda?

Answer 1

Si $\operatorname{char} \mathbb{K} = 2$, a continuación, la declaración no tiene. Consideremos por ejemplo el $\mathbb{F}_2$-lineal mapa de $T \colon \mathbb{F}_2^2 \to \mathbb{F}_2^2$, que está dada por la multiplicación de la matriz $$ Un := \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \en M_2(\mathbb{F}). $$ A continuación, $T^2$ está dada por la multiplicación de la matriz $$ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, $$ que es simplemente la matriz de identidad. Por lo tanto,$T^2 = \operatorname{id}_{\mathbb{F}^2_2}$.

Debido a $A$ no es la matriz identidad sabemos que $T \neq \operatorname{id}_{\mathbb{F}^2_2}$. Con ese $1 = -1$ $\mathbb{F}_2$ nos encontramos con que $T$ no cumple ninguna de las tres condiciones, todos los cuales son, en este caso equivalente a $T$ la identidad.