¿Hay funciones donde$(f\cdot g)^\prime$ es igual a$f^\prime \cdot g^\prime$?

Question

Mi profesor de matemáticas recientemente le preguntó a mi clase si hay alguna función que cumpla con la regla $$(f\cdot g)^\prime = f^\prime \cdot g^\prime$ $. He buscado en la web una respuesta pero no la encontré. ¿Podría alguien ayudarme con eso? ¿O al menos señalarme la dirección correcta?

Answer 1

Si $(fg)'=f'g'$, a continuación, $f'g+g'f=f'g'$, por lo que $$(g-g')f'+g'f=0.$$ Si $g=0$, a continuación, $f$ puede ser cualquier función derivable. Si $g=g'$ e $g\neq 0$, a continuación, $g(x)=ae^x$ para algunas constantes $a\neq 0$. Por lo tanto, $f=0$.

Supongamos ahora que $g\neq g'$. Luego, escribe $$f'+\frac{g'}{g-g'}f=0.$$ Por lo tanto, $$(\mu f)'=0,$$ donde $$\mu(x)=\exp\left(\int\frac{g'(x)}{g(x)-g'(x)}dx\right).$$ Por lo tanto, para algunas constantes $b$, $$f(x)=\frac{b}{\mu(x)}=b\exp\left(-\int\frac{g'(x)}{g(x)-g'(x)}dx\right).$$

Por ejemplo, si $g(x)=x$, entonces podemos tomar $\mu(x)=x-1$. Que es, $f(x)=\frac{b}{x-1}$. Para otro ejemplo, si $g(x)=\sin x$ para $x\in(-\pi/4,\pi/4)$, entonces podemos tomar $\mu(x)=e^{-x/2}\sqrt{\cos x-\sin x}$, por lo que $f(x)=\frac{e^{x/2}}{\sqrt{\cos x-\sin x}}$. Para un último ejemplo, si $g(x)=\sqrt{x^2+1}$, entonces podemos tomar $\mu(x)=\sqrt{x^2-x+1}\exp\left(\frac{\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt3}\right)}{\sqrt{3}}\right)$ e lo $f(x)=\frac{b}{\sqrt{x^2-x+1}}\exp\left(-\frac{\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt3}\right)}{\sqrt{3}}\right)$.

Answer 2

Si $f(x)=e^{ax}$ y $g(x)=e^{bx}$ entonces

$a+b=ab$ . para que podamos tomar

$$f(x)=e^{ax}$$ and $ $ g (x) = e ^ {\ frac {ax} {a-1}} $$

Answer 3

$(0\cdot 0)' = \\ 0' = \\ 0'\cdot0'$