JEMC 2016/2: Demostración de que una determinada recta es ortogonal al eje radical de dos circunferencias

Question

Dos circunferencias C1 y C2 se cruzan en los puntos A y B. Sean P, Q puntos de las circunferencias C1, C2 respectivamente, tales que |AP| = |AQ|. El segmento P Q interseca las circunferencias C1 y C2 en los puntos M, N respectivamente. Sea C el centro del arco BP de C1 que no contiene el punto A y sea D el centro del arco BQ de C2 que no contiene el punto A. Sea E la intersección de CM y DN. Demostrar que AE es perpendicular a CD.

--- Copa de Europa de Matemáticas 2016: Pregunta 2 de la categoría junior:
http://emc.mnm.hr/wp-content/uploads/2016/12/EMC_2016_Juniors_ENG.pdf

Cuando intenté resolver este problema, conseguí demostrar que $$ E \in AB, $$ lo que reduce la cuestión a demostrar que $$ CD \perp AE = AB \perp O_1O_2 \Rightarrow CD\parallel O_1O_2 \\ \text{ (with } O_1 \text{ and } O_2 \text{ the centers of } C_1 \text{ and } C_2 \text{ respectively).} $$

¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Podemos resolverlo $E$ es el ortocentro de $\triangle ACD$ . En la imagen de arriba, $$\angle BAD =\frac{\angle BAQ}2, \angle BAC = \frac{\angle BAP}2.$$ Así que $\angle CAD = \frac12 \angle PAQ$ . Además, $$\angle MCA = \angle QPA = \angle PQA = \frac{180^\circ - \angle PAQ}2.$$ Así que $\angle MCA + \angle CAD = 90^\circ$ o $CM\perp AD$ . Del mismo modo, $DN\perp AC$ .

---

Nota: no es inmediato para mí ver que $A,E,B$ son colineales. Estaría bien que incluyeras la prueba en tu pregunta.