Cada divisor impar es $\equiv 1\bmod 3$

Question

Si $n$ es un entero positivo con $n\equiv 2\pmod 3$ a continuación quiero mostrar que cada divisor impar de $n^2+n+1$ es congruente a $1\pmod 3$.

$$$$

He hecho lo siguiente:

Deje $d$ ser un divisor impar de $n^2+n+1$.

A continuación, $$n^2+n+1\equiv 0\bmod d \Rightarrow (n-1)(n^2+n+1)\equiv 0\bmod d \Rightarrow n^3-1\equiv 0 \bmod d \Rightarrow n^3\equiv 1\bmod d$$

Desde $n\equiv 2\pmod 3$ tenemos que $n=2+3k$. A continuación, $$n^3=(2+3k)^3=27k^3+54k^2+36k+8$$

Tenemos que $n^3\equiv 1\bmod d$ por lo tanto, tenemos $$27k^3+54k^2+36k+8\equiv 1\bmod d \Rightarrow 27k^3+54k^2+36k+7\equiv 0\bmod d$$

Es todo correcto? ¿Cómo podemos continuar?

Answer 1

Sugerencia: Comience con impares primos divisores. Como correctamente se muestra, para cualquier $p\mid n^2+n+1$ tenemos que $$n^3\equiv 1\pmod p.$$ Por lo tanto $\text{ord}_{p}(n)\mid 3$. Desde $n\equiv 2\not\equiv 1\pmod p$ sabemos que $\text{ord}_{p}(n)=3$. Sin embargo, también sabemos que para cada $m$ e $x$ coprime a $m$ que $\text{ord}_m(x)\mid \phi(m)$. ¿Cómo podemos aplicar esto en este escenario? Una vez que sabemos que la declaración es válido para cada divisor primo impar, ¿qué podemos decir acerca de cada divisor impar?