¿Por qué esto no es correcto?

Question

Se nos ha asignado para lidiar con la siguiente tarea.

Suponga que $f(x)$ es derivable para cualquier $x \in \mathbb{R}$. Queremos la investigación $\lim\limits_{x \to x_0}f'(x)$ donde $x_0 \in \mathbb{R}$.

Observe que \begin{align*} f'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(\xi)(x-x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0}f'(\xi), \end{align*} donde hemos aplicado Lagrange del Valor medio Teorema, y $ x_0 \lessgtr \xi \lessgtr x.$ Desde $\xi$ es exprimido por $x_0$ e $x$, a continuación, $x \to x_0$ implica $\xi \to x_0$. Así $$f'(x_0)=\lim_{x \to x_0}f'(\xi)=\lim_{\xi \to x_0}f'(\xi).$$

¿Qué dice esto? Esto muestra que $f'(x)$ siempre es continua en cualquier punto de $x=x_0$, lo cual es un absurdo conclusión, porque sabemos con seguridad $f'(x)$ mayo tiene, probablemente, el punto de discontinuidad (de la segunda clase). Pero donde la dosis de error que se producen durante el razonamiento anterior?

Answer 1

Su razonamiento solo muestra que si existe $\lim_{x \to x_0} f'(x)$ , entonces es igual a $f'(x_0)$ . Pero, como dices, puede que no exista.

Este es un ejercicio bastante clásico, que se ha tratado muchas veces en este sitio, por ejemplo, en esta pregunta .

Answer 2

En realidad，podemos hacer un comentario para el razonamiento como este:

El hecho de que $\lim\limits_{\xi \to x_0}f'(\xi)$ existe dosis no implican $\lim\limits_{x \to x_0}f'(x)$ también exsits, ya que, según el Teorema de Heine, el último, requiere que los $f'(x_n)$ converge para cualquier secuencia $x_n \to x_0$. Como podemos ver, $\xi_n$ es sólo una secuencia específica. Aunque $f'(\xi_n)$ es convergente, esto no es suficiente para garantizar la $f'(x_n)$ converge así.

Answer 3

En realidad, tienes razón, esto también llamado "teorema de la derivada de la limitación" en algunos libros de texto. Si ya se supone que $f(x)$ es derivable para cualquier $x \in \mathbb{R}$.

Con una condición adicional a la limitación de derivados $\lim_{x \to x_{0}}f'(x)$ existen.

Usted puede escribir su conclusión:

$$\lim_{x \to x_{0}}f'(x)=f'(x_{0})$$

La condición de $f(x)$ es derivable para cualquier $x \in \mathbb{R}$ también se puede debilitar a $f(x)$ es continua en a$U(x_{0})$ que es el barrio de $x_{0}$, y derivable en a$U°(x_{0})$ que es el perforado barrio de $x_{0}$.

El único problema es que usted no ha asumido la limitación de sus derivados, siempre debe existir, lo que significa que la derivada no puede divergencia hasta el infinito, como dicen a veces que sería el punto de discontinuidad de la segunda clase.

Y de este teorema puede ser simplemente recordado como en otros"no tan estricta (por favor, observe el comentario de abajo)' formas como:

Si una función continua (finito) derivado de su función derivada es también continua. (pero tal vez no derivable)