Supongamos que le dan un número natural con $N$ dígitos, elegidos al azar, excepto que ninguno de los dígitos es $0$ . Ahora baraje sus dígitos para obtener un nuevo número de $N$% -digit. ¿Cuál es la probabilidad (como $N\rightarrow\infty$ , por ejemplo) de que el número nuevo y el anterior sean primos relativamente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Shabaz
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Sabemos que la probabilidad de que dos números son coprime es $\frac 6{\pi^2}$ , como se muestra en esta pregunta.
La exclusión de $0$ cambios de las posibilidades de que los números son divisibles por $2$ e $5$. Con todos los dígitos que se incluye la posibilidad de un número es divisible por $2$ es $\frac 12$ y la probabilidad de que ambos se es $\frac 14$. Ahora la probabilidad de que el número de es $\frac 49$ y la probabilidad de que ambos se es $\frac {16}{81}$. Del mismo modo la posibilidad de que ambos son múltiplos de $5$ ahora $\frac 1{81}$ en lugar de $\frac 1{25}$.
La codificación de los dígitos introduce una importante correlación porque si uno de ellos tiene un factor de $3$ lo hace el otro. La posibilidad de dos números, ambos tienen un factor de $3$ es $\frac 19$ por lo que en nuestro caso el factor de $\frac 89$ que los dos no tienen un factor de $3$ es reemplazado por un factor de $\frac 23$.
La probabilidad de que ellos no son múltiplos de cualquiera de $2,3,5$ ahora es $(1-\frac {16}{81})(1-\frac 13)(1-\frac 1{81})=\frac {10400}{19683}$ en lugar de $(1-\frac 14)(1-\frac 19)(1-\frac 1{25})=\frac {16}{25}.$ cabe esperar que la probabilidad de que se coprime ser $\frac 6{\pi^2}\cdot \frac {25}{16} \cdot \frac {10400}{19683}\approx 0.502$ por Alfa.
Yo no puedo probar que no hay cambios para que la probabilidad de que otro de los números primos, pero una manera de motivar es para primos con bastante menos de $N$ dígitos es pensar acerca de cada uno de los dígitos que contribuyen en el resto de la división por el primer. Se agrega en uno de los nueve restos que razonablemente se encuentran dispersos a través de los residuos.
