Álgebras de Von Neumann de tipo III y espectros de los operadores modulares.

Question

Estoy estudiando el papel de Fredenhagen. Allí dijo que demostraría que el álgebra de observables locales bajo ciertas condiciones es de tipo III, mostrando que todos los operadores modulares satisfacen $spec(\Delta_{\mathcal{O}})=\mathbb{R}_{+}$ .

Estoy empezando a estudiar las álgebras de von Neumann y realmente no sé si era una condición suficiente.

La definición que tengo para las álgebras de tipo III es que sólo hay proyectores de dimensión $0$ o $\infty$ . Mi pregunta es, ¿cómo se relacionan estas dos afirmaciones?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Para intentar simplificar las cosas (no lo son; la teoría modular y el trabajo de Connes sobre ella están muy muy lejos de ser triviales), si $M$ es semifinito entonces el operador modular es la identidad. Es decir, al menos cuando se habla de factores el operador modular es no trivial sólo en factores de tipo III.

Dicho esto, el objetivo del artículo no es tanto demostrar que los factores son de tipo III, sino mostrar que los factores son de tipo III_1 (no estoy del todo seguro de que las álgebras del artículo sean factores, pero al menos al hablar de factores estoy más seguro de estar diciendo lo correcto). Esto tiene que ver con la clasificación de A. Connes.

Entre otras muchas cosas, Connes demostró que el conjunto $$ \Gamma(M)=(0,\infty)\cap\,\bigcap\{\operatorname{sp}\Delta_\phi:\ \phi\ \text{ is a fns weight on }M\} $$ es un grupo multiplicativo cerrado de $(0,\infty)$ . Las únicas posibilidades son

• $\Gamma(M)=\{1\}$ ; si $M$ también es de tipo III, decimos que $M$ es del tipo III $_0$

• $\Gamma(M)=\{\lambda^n:\ n\in\mathbb Z\}$ para algunos $\lambda\in(0,1)$ decimos que $M$ es del tipo III $_\lambda$

• $\Gamma(M)=(0,\infty)$ decimos que $M$ es del tipo III $_1$ .

Cuando $M$ es semifinito, siempre se tiene $\Gamma(M)=\{1\}$ .

Así que si puedes demostrar que el espectro de $\Delta_\phi$ es $(0,\infty)$ entonces $M$ es del tipo III $_1$ .