Lógica de tres valores con el tercer valor siendo "indecidible", aplicándose a proposiciones indecidibles

Question

Me parece que el estado de las cosas es que algo puede ser verdadero, falso o indeterminado en las matemáticas convencionales. Por lo tanto, moralmente, deberíamos estar utilizando la lógica de tres valores.

Revisé el artículo de Wikipedia y vi que se hace la interpretación del tercer valor como indeterminado, pero no vi ninguna referencia. ¿Hay algo que ganar al hacer esto? ¿Podemos utilizar esto para tratar las proposiciones indeterminadas como teniendo ese tercer valor de verdad de manera útil?

Answer 1

El OP escribe:

... el estado de las cosas es que algo puede ser verdadero, no verdadero o indecidible, en las matemáticas convencionales.

A mi modo de ver, esta afirmación parece ser fundamentalmente defectuosa, al confundir verdad con demostrabilidad. No identificamos la verdad en teoría de conjuntos o matemáticas con la demostrabilidad en alguna teoría particular, y de hecho, la distinción entre verdad y demostrabilidad ha sido uno de los avances más importantes en lógica matemática en el siglo XX.

Me parece que la tricotomía relevante a la que se refiere el OP debería ser: demostrable, refutable, independiente. Pero estas no son las mismas que los valores de verdad, y me parecería incorrecto presentar la tricotomía como un sistema de valores de verdad, ya que esto sería confundir verdad con demostrabilidad.

En cualquier modelo de teoría de conjuntos (o universo de teoría de conjuntos, si lo prefieren), cada afirmación es verdadera o falsa; no hay una tercera posibilidad para la verdad o verdad-en-un-modelo.

El fenómeno de independencia generalizado en teoría de conjuntos, en contraste, se trata de demostrabilidad en lugar de verdad. Afirmaciones como la hipótesis del continuo no son ni demostrables ni refutables en ZFC, y hay cientos de ejemplos naturales, preguntas fundamentales en teoría de conjuntos, que resultan no estar decididas por los axiomas comúnmente considerados. Pero mientras tanto, la teoría de conjuntos está llena de teorías más fuertes, que sí resuelven estas afirmaciones. Por ejemplo, el axioma de forcing adecuado PFA implica la negación de CH sobre ZFC.

Mientras tanto, un análisis más sofisticado del fenómeno de independencia lleva naturalmente a la jerarquía de fuerza de consistencia. Tenemos una enorme jerarquía de nociones de cardinales grandes y otras afirmaciones matemáticas naturales, que tienen un grado relativo de independencia, en el sentido de que aumentan en fuerza de consistencia. En este sentido, podría tener sentido, sobre estas bases, decir que una afirmación es más o menos independiente que otra. Esto llevaría naturalmente a más de tres "valores" en su sistema. Pero una explicación más precisa se da simplemente mediante las afirmaciones de la jerarquía de fuerza de consistencia en sí misma.

Answer 2

Tl;dr: hay inconvenientes, de lo que se proponen, tanto algebraicas y fundacional, que me parece lo suficientemente grave como para indicar que la "valoración" en la pregunta realmente ser un secundario en lugar de objeto fundamental. Sin embargo, hay sin duda más intrincado de los enfoques a lo largo de las líneas de lo que se sugiere que son mucho más satisfactorio, e incluso encontrar la aplicación en el clásico interpretado matemáticas.

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La versión corta para mí es que el mapa dada por una "estructura" (en cualquier sentido que se entiende) de las penas a los valores de verdad es el objeto fundamental de una determinada lógica, y lo que he descrito es realmente mejor considerado un "derivado" del objeto.

En primer lugar, permítanme empujar contra Joel respuesta un poco. No es una perfección significativa semántica para la lógica: una "estructura" es sólo un conjunto de oraciones en el idioma correspondiente, y esta totalmente determina un mapa de sentencias en $\{P,D,I\}$ (= provable, disprovable, mendependent). Mientras que esto está muy lejos de la noción habitual de primer orden semántica y contables de las estructuras (respectivamente computable, o etc., contables estructuras) no son en mi opinión el más objectinable de arbitraria de conjuntos de oraciones (resp. computable, o etc., conjuntos de oraciones), y por lo que este cambio se siente un poco antinatural para mí, es perfectamente satisfactoria. Así que vamos a ir con ella.

Entonces, ¿cuáles son las críticas?

• Primer problema: la Teoría y la semántica son borrosas. Auto-explicativo. En mi opinión, parte de lo que hace la lógica es interesante la diferenciación entre la semántica y la sintaxis y su posterior unificación. Sin duda, algunos conceptos de la semántica de hacer filosófico compromisos que son difíciles de justificar, pero eso no significa que todos los semantices caen presa de este, y en el abandono de toda la semántica del proyecto parece inapropiado para mí.

  • Dicho esto, para la integridad (jeje) tengo que mencionar a Jean-Yves Girard, cuya "antirealist" la postura es muy interesante y de valor nominal que se oponían fuertemente a al menos algunos de los que he escrito aquí. Tengo mis propios pensamientos acerca de su trabajo, y la medida en la que realmente empuja en contra de lo que he escrito aquí, pero este no es el foro adecuado para eso; lo menciono sólo porque no menciona un serio punto de vista opuesto a lo que estoy diciendo que iba a la frontera en la deshonestidad.

• Segundo problema: perdemos la verdad-la funcionalidad de las operaciones básicas. El valor de verdad de $p\wedge q$ ya no es determinado por la verdad de los valores de $p$ e $q$: por ejemplo, la toma de nuestro "modelo" (en este sentido) a la teoría ZFC, considere la posibilidad de $(i)$ $p=CH, q=\neg CH$ versus $(ii)$ $p=CH, q=CH$.

  • Vale la pena señalar que la verdad funcionalidad de ninguna manera es un requisito de un sistema lógico - no-verdad-funcional de las operaciones son muy importantes, y, en particular, una interpretación modal de provability los rendimientos de una rica y significativa en la teoría, pero el grado en el que perdemos la verdad funcionalidad de aquí parece difícil de justificar.

Así, mientras que el mapa de asignación de $P,D$o $I$ a una frase que dependiendo de su estado en relación a una determinada teoría es muy importante y muy interesante, en mi opinión, no tiene demasiado grandes inconvenientes para ser considerado satisfactorio objeto fundamental de un sistema lógico. Por el contrario, es más bien como un objeto derivado, que viene después de la semántica ya ha sido establecido. Esta semántica no tiene que implicar fuertes Platónico compromisos, pero que en mi opinión debe ser un poco más ricos.

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Sin embargo, no todo está perdido (en mi opinión)!

En un comentario a Joel la respuesta de escribir

tal vez no debería ser una teoría donde explícitamente ni verdadera ni falsa.

Este es no es el mismo como lo que hemos propuesto, es mucho menos restrictiva de la visión. Y, de hecho, es uno que se realiza por muy interesante y útil enfoques.

Voy a mencionar, en particular, Boolean valores de los modelos. En primer lugar, una puramente sintáctica comentario. En cierto sentido, la verdad funcionalidad problema que se ha destacado anteriormente era sólo debido a la pérdida de información: si yo seguía la pista de las condiciones de verdad de las oraciones involucradas, y no sólo su última prueba de la teoría de estado, yo no tendría problemas. Esto puede ser hecho preciso considerando el álgebra de Lindenbaum de una teoría: dada una teoría de la $T$, el conjunto de oraciones en el idioma de $T$ modulo $T$-comprobable de equivalencia de forma un álgebra Booleana, y esta álgebra de boole - más que el conjunto de $\{P,D,I\}$ - es un conjunto razonable de valores de verdad. Semánticamente hablando, un Booleano valores de la estructura debe ser uno donde las fórmulas atómicas se puede tomar en la verdad de los valores en cualquier álgebra de boole, en lugar de $\{\top,\perp\}$; por lo tanto, Boolean valores de la estructura es, probablemente, va a ser un par consistente de la estructura de lado y el "destino" del álgebra Booleana. Esto termina siendo una muy útil generalización - en particular, tiene graves valor en el enfoque Boolean para forzar en la teoría de conjuntos.

Y también podríamos considerar otras estructuras algebraicas para nuestros conjuntos de valores de verdad, como álgebras de Heyting o aún más las cosas. Pensando a lo largo de estas líneas también motiva el estudio general de la lógica algebraica, y para una perspectiva general y sintáctica ver Czelakowski del libro.

La moraleja de esta línea de pensamiento es: mera provability estado no está completa la información, incluso si adoptamos una radicalmente anti-realista de la postura. Es esta pérdida de información, no en la ausencia de un compromiso filosófico, que es la intención con tu sugerencia.

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Una nota final: otra importante pérdida de información que se producen en lo que proponemos trata de grados de significatividad. Escribe en un comentario a Joel respuesta que distinguir entre Goldbach de la conjetura y la CH, al menos en parte, porque hay un fuerte sentido en el que "la independencia implica la verdad" para el primero pero no el último, pero una vez que usted acepta esto como un posible fenómeno a cualquier grado el estricto enfoque que te hayas propuesto parece aún más inapropiado. He escrito un poco sobre mis propios pensamientos sobre la relación de significatividad aquí, y algunos de los adultos de " pensamientos sobre la materia se puede encontrar aquí.

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Permítanme terminar con un poco de aclaración. Mi postura anterior puede salir como "semántica-en primer lugar," que es bastante hipócrita: si mi especialidad fundamental interés es la interacción entre la semántica y la sintaxis, entonces yo debería tratar como igual de interesantes.

Mi respuesta es que me hacen pensar que es perfectamente válido (y a menudo más interesante) para ir por el otro camino: en primer lugar determinar puramente sintáctica de la lógica, y, a continuación, busque una semántica para él. Del mismo modo, es a menudo muy valiosa para identificar múltiples igual de bueno semántica para un determinado sintácticamente definidos por el sistema lógico. Sin embargo, también creo que realmente no podemos estar satisfechos hasta que tenemos una semántica que es razonablemente natural y con respecto a que nuestro sistema a prueba de sonido y completa. Por otra parte, mi definición de "semántica" es lo suficientemente amplia, en mi opinión, que no se pierde nada por mi anterior afirmación. Yo diría que la naturaleza de mi postura estética.