Demuestra que $({\mathbb{Q}},+)$ no está finitamente generada utilizando el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitamente Generados.

Question

¿Puede alguien ayudarme a utilizar el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados para demostrar que $({\mathbb{Q}},+)$ no está generado finitamente?

Answer 1

Si $\mathbb Q$ quiere ser finitamente generado, entonces no puede ser un grupo divisible. Pero lo es.

Answer 2

De acuerdo con la petición del OP, he aquí una explicación de mi comentario:

No veo por qué necesitas ese teorema (FToFGAG). No se podría generar finitamente ya que, dejando que p sea cualquier primo mayor que el producto de los denominadores de los generadores de forma más baja, no se podría generar 1/p.

Supongamos que $(\mathbb{Q}, +)$ fueron generados finitamente. Sea $$\left\{\frac{n_1}{d_1}, \dots, \frac{n_k}{d_k}\right\}$$ sea un conjunto generador. Sea $p$ sea cualquier primo que no divida $\prod_{i=1}^k d_i$ . Entonces claramente no se puede generar $\frac 1p$ sumando y restando (múltiplos de números enteros) los elementos del conjunto generador, contradiciendo el hecho de que se supone que es un conjunto generador.

Para ser explícitos, consideremos una situación arbitraria ( $\mathbb{Z}$ -lineal) de los elementos del conjunto generador:

$$m_1\frac{n_1}{d_1}+ \cdots + m_k\frac{n_k}{d_k}=\frac{\mathrm{long\ expression}}{\prod_i^kd_i}$$

No hay manera de reducir tal fracción a $\frac 1p$ si $p$ no divide el denominador.

Answer 3

Supongamos que $(\mathbb Q,+)$ está generada finitamente. Entonces, por el teorema fundamental existe $m,n\ge 0$ y $d_1\mid\cdots\mid d_m$ con $d_i>1$ tal que $\mathbb Q\simeq \mathbb Z/d_1\mathbb Z\oplus\cdots\oplus\mathbb Z/d_m\mathbb Z\oplus \mathbb Z^n$ . Si $m\ge 1$ entonces existe $x\in\mathbb Q$ , $x\neq 0$ , de tal manera que $d_1x=0$ una contradicción. Por lo tanto, obtenemos $m=0$ . Entonces $\mathbb Q\simeq \mathbb Z^n$ . Si $n\ge 2,$ entonces existe $x_1,x_2\in\mathbb Q$ que son linealmente independientes sobre $\mathbb Z$ . Pero $x_1=a_1/b_1$ y $x_2=a_2/b_2$ dar $(b_1a_2)x_1+(-b_2a_1)x_2=0$ una contradicción. Así que debemos tener $n=1$ Es decir, $\mathbb Q$ es cíclico. Supongamos que está generada por $a/b$ con $b\ge 1$ . Entonces $\frac{1}{b+1}$ no puede escribirse como $\frac{ka}{b}$ Y de nuevo llegamos a una contradicción.

(Por supuesto, hay argumentos más simples y mucho más naturales para demostrar que $(\mathbb Q,+)$ no está generada finitamente).

Editar. En particular, esto demuestra que el grupo aditivo de cualquier campo de característica $0$ no está generada finitamente. (Sin embargo la propiedad se mantiene para cualquier campo infinito).

Answer 4

En un edificio de generación finita $0$ grupo abeliano característico que no puede Dividir arbitrariamente muchas veces por $2$ digamos.