Necesito encontrar todas las funciones continuas que satisfacen:
PS
La ecuación funcional parece simple pero no puedo resolverla. Traté de convertirlo en una ecuación de tipo Cauchy pero no pude hacerlo.
Respuestas
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Deje $g(x) = f(x-1)$. Entonces tenemos
$$
3g(2x+2) = g(x+1) + 5x,
$$ o, equivalentemente,
$$
g(x)-\frac{1}{3}g(\frac{x}{2}) = \frac{5x-10}{6}=: \phi(x).$$
Tenga en cuenta que $g(0) = -2.5$. Por lo tanto, tenemos
$$\begin{eqnarray}
g(x) = g(x) -\lim_{j\to\infty}3^{-j}g(2^{-j}x) &=& \sum_{j=0}^\infty \left(3^{-j} g(2^{-j}x) -3^{-j-1}g(2^{-j-1}x)\right)\\ &=& \sum_{j=0}^\infty 3^{-j}\phi(2^{-j}x)\\
&=&\frac{1}{6}\sum_{j=0}^\infty 3^{-j}(5\cdot2^{-j}x-10)\\
&=&\frac{6x-15}{6} = x -\frac{5}{2}.
\end{eqnarray}$$ This establishes $f(x) = x -\frac{3}{2}$.
$\textbf{EDIT:}$ I implícitamente supone que el dominio de definición de $g$ es $\mathbb{R}$. Si el dominio de $g$ contiene $0$, entonces la única continuo de la solución está dada por $g(x) = x-\frac{5}{2} $ como podemos ver en el argumento anterior. De lo contrario, el argumento se derrumba, y uno puede ver que $$g(x) = ( x-\frac{5}{2}) + h(x)$$ is a solution of $g(x)-\frac{1}{3}g(\frac{x}{2}) = \phi(x)$ whenever it holds that $$ h(x) = \frac{1}{3}h(\frac{x}{2})\quad\cdots(*). $$ Note that any continuous function $k : [1,2]\to\mathbb{R}$ with $k(2) = \frac{1}{3}k(1)$ can be extended uniquely to continuous $\overline{k} :(0,\infty)\to\mathbb{R}$ satisfying $(*)$. This shows that there are as many solutions $$g:x\in(0,\infty)\mapsto ( x-\frac{5}{2}) + \overline{k}(x)$$ as there are $k:[1,2] \to\mathbb{R}$ with $k(2) = \frac{1}{3}k(1)$. And the same is also true for $g(x)$ on $(-\infty,0)$.
Cesar Eo
Puntos
61
Esta es una ecuación de diferencia lineal que puede resolverse fácilmente como
$$ f (x) = f_h (x) + f_p (x) $$
la solución homogénea da
$$ f_h (x) = C_0 3 ^ {1- \ log_2 (x +1)} $$
La solución completa es
$$ f (x) = \ frac {1} {2} \ left (\ left (2 C_0 +1 \ right) 3 ^ {1- \ log_2 (x +1)} +2 x-3 \ right) $ PS
